Question

16．已知：如图，△ABC中的顶点A、C分别在平面直角坐标系的x轴、y轴上，且∠ACB=90°，AC=2，BC=1，当点A从原点出发朝x轴的正方向运动，点C也随之在y轴上运动，当点C运动到原点时点A停止运动，连结OB．
（1）点A在原点时，求OB的长；
（2）当OA=OC时，求OB的长；
（3）在整个运动过程中，OB是否存在最大值？若存在，请你求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意AB的长就是OB的长，根据勾股定理求得AB的长即可；
（2）作BD⊥y轴于D，根据勾股定理可得OC=$\sqrt{2}$，DC=DB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，最后根据勾股定理即可求得OB；
（3）Rt△AOC的外接圆圆心是AC中点，设AC中点为D，根据三角形三边关系有OB≤OD+BD=1+$\sqrt{2}$，即O、D、B三点共线时OB取得最大值．

解答 解：（1）点A在原点时，OB=AB，
∵∠ACB=90°，AC=2，BC=1，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$；
∴OB=$\sqrt{5}$；
（2）当OA=OC时，如图1，作BD⊥y轴于D，
∵AC=2，BC=1，
∵OA²+OC²=AC²，
∴OA=OC=$\sqrt{2}$，
∵OA=OC，
∴∠ACO=45°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=45°，
∴∠BCD=∠CBD，
∴DB=DC，
∵DC²+DB²=BC²，
∴DB=DC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴OD=OC+DC=$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴OB=$\sqrt{O{D}^{2}+D{B}^{2}}$=$\sqrt{（{\frac{3\sqrt{2}}{2}）}^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{5}$；
（3）如图2，作AC的中点D，连接OD、BD，
∵OB≤OD+BD，
∴当O、D、B三点共线时OB取得最大值，
∵BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，OD=AD=$\frac{1}{2}$AC=1，
∴点B到原点O的最大距离为1+$\sqrt{2}$．

点评 此题主要考查了两点间的距离，以及勾股定理的应用，本题的难度较大，理解D到O的距离不变是解决本题的关键．