Question

【题目】已知：△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=，将AC边所在直线向右平移，所得直线MN与BC边的延长线相交于点M，点D在AC边上，CD=CM，过点D的直线平分∠BDC，与BC交于点E，与直线MN交于点N，联接AM．

（1）若CM=，则AM= ；

（2）如图①，若点E是BM的中点，求证：MN=AM；

（3）如图②，若点N落在BA的延长线上，求AM的长．

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析（3）

【解析】分析：(1)、根据Rt△ACM的勾股定理得出AM的长度；(2)、①过点B作BF⊥BC与NE的延长线交于点F，首先证明△BEF≌△MEN，然后再证明Rt△BDC≌Rt△AMC，从而得出BD=AM，根据角平分线的性质以及平行线的性质得出∠BDF=∠F，从而得出答案；②过点D作DH⊥MN于点H，首先证明四边形CDHM是正方形，然后证明Rt△BDC≌Rt△AMC≌Rt△NDH，根据全等得出∠1＝∠2＝∠5＝30°，根据Rt△BDC的三角函数得出答案．

详解：（1）；

（2）证明：如图①，过点B作BF⊥BC与NE的延长线交于点F，

∵∠ACB=90°，MN∥AC，∴∠FBE=∠NME=90°， 又BE＝ME，∠BEF=∠MEN，

∴△BEF≌△MEN，∴BF＝MN， ∵CD＝CM，BC＝AC， ∴Rt△BDC≌Rt△AMC，∴BD＝AM，

∵NF平分∠BDC，∴∠BDF=∠FDC, 又由BF∥AC，得：∠F=∠FDC，

∴∠BDF=∠F，∴BD＝BF，∴MN=AM.

(3)如图②，过点D作DH⊥MN于点H，

∵MN∥AC，∠ACB=90°，CD＝CM，∴四边形CDHM是正方形，

又点N在BA的延长线上，∴△BNM∽△BAC， ∵AC＝BC，∴NM＝BN，

又MH＝CM＝DH，∴NH＝BC， ∴Rt△BDC≌Rt△AMC≌Rt△NDH， ∴BD＝AM＝ND，∠5＝∠6，

又∠1＝∠2，∠2＝∠6，∴∠1＝∠2＝∠5， ∵∠1+∠2+∠5＝90°，

∴∠1＝∠2＝∠5＝30°， 在Rt△ABC中，AC＝BC，AB=，∴AC＝BC＝4，

在Rt△BDC中， ∴AM＝ .