Question

已知矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点M、N分别是对角线BD和边BC上的动点，则CM+MN的最小值为

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,矩形的性质

专题：

分析：根据轴对称求最短路线的方法得出M点位置，进而利用等边三角形的性质与判定以及锐角三角函数关系求出MC+NM的值．

解答：解：如图所示：由题意可得出：作C点关于BD对称点C′，连接BC′，
过点C′作C′N⊥BC于点N，交BD于点M，连接MC，此时CM+NM=C′N最小．
设 BN=x，NC=（6-x），
由相似三角形的性质，得
MN：8=x：6，
解得MN=

4

3

x．
由勾股定理，得
MC²=

25

9

x²-12x+36．
MC′²=MC=

25

9

x²-12x+36．
NC′²=

25

9

x²-

32

3

x+36．
由勾股定理，得BC′²-BN²=C′N²，
即6²-x²=

25

9

x²-

32

3

x+36，
解得：x=6，
所以CM+NM=C′N=

15

2

，
故答案为：

15

2

．

点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及锐角三角函数关系应用，利用轴对称得出M点位置是解题关键．