Question

【题目】已知：AB是⊙O的直径，P是OA上一点，过点P作⊙O的非直径的弦CD．

（1）若PA=2，PB=10，∠CPB=30°，求CD长；

（2）求证：PCPD=PAPB；

（3）设⊙O的直径为8，若PC、PD是方程，求m的范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析；（3）

【解析】

（1）连接OC，过点O作OE⊥CD于点E，先求出AB=12，可求OP=4，进而由直角三角形的性质可求OE的长，再由勾股定理可求EC的长，最后由垂径定理可求解；

（2）连接AD、CB，通过证明，可得，即可得结论；

（3）由一元二次方程的根与系数关系，可求m的范围．

（1）如下图，连接OC，过点O作OE⊥CD于点E

∵PA=2，PB=10

∴AB= 12

∴OA=OB=OC=6

∴OP=4

∵∠CPB=30°，OE⊥CD

∴CE=DE，PO=2OE

∴OE=2

∵EC=

∴CD=

（2）如下图：连接AD、CB

∵

∴∽

∴

∴

（3）∵PC、PD是方程的两根

∴

∴

∵CD是非直径的弦

∴

∴

∵PC、PD是方程的两根

∴

∴或

∴