Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，AB＝3，M是CD边上一动点（不与D点重合），点D与点E关于AM所在的直线对称，连接AE，ME，延长CB到点F，使得BF＝DM，连接EF，AF．

（1）依题意补全图1；

（2）若DM＝1，求线段EF的长；

（3）当点M在CD边上运动时，能使△AEF为等腰三角形，直接写出此时tan∠DAM的值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）1或．

【解析】

（1）根据题意作出图形便可，

（2）连接BM，先证明△ADM≌△ABF，再证明△FAE≌△MAB，求得BM，便可得EF；

（3）设DM＝x（x＞0），求出AE、AF、EF，当△AEF为等腰三角形，分两种情况：AE＝EF或AF＝EF，列出方程求出x的值，进而求得最后结果．

解：（1）根据题意作图如下：

（2）连接BM，如图2，

∵点D与点E关于AM所在直线对称，

∴AE＝AD，∠MAD＝∠MAE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝AB，∠D＝∠ABF＝90°，

∵BM＝BF，

∴△ADM≌△ABF（SAS），

∴AF＝AM，∠FAB＝∠MAD，

∴∠FAB＝∠NAE，

∴∠FAE＝∠MAB，

∴△FAE≌△MAB（SAS），

∴EF＝BM，

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC＝CD＝AB＝3，

∵DM＝1，

∴CM＝2，

∴BM＝，

∴EF＝；

（3）设DM＝x（x＞0），则CM＝3﹣x，

∴EF＝BM＝，

∵AE＝AD＝3，AF＝AM＝，

∴AF＞AE，

∴当△AEF为等腰三角形时，只能有两种情况：AE＝EF，或AF＝EF，

①当AE＝EF时，有＝3，解得x＝3

∴tan∠DAM＝；

②当AF＝EF时，＝，解得，x＝，

∴tan∠DAM＝，

综上，tan∠DAM的值为1或．

故答案为：tan∠DAM的值为1或．