【题目】问题探究
(1)请在图①的的边
上求作一点
,使
最短;
(2)如图②,点为
内部一点,且满足
.求证:点
到点
、
、
的距离之和最短,即
最短;
问题解决
(3)如图③,某高校有一块边长为400米的正方形草坪,现准备在草坪内放置一对石凳及垃圾箱在
点处,使点
到
、
、
三点的距离之和最小,那么是否存在符合条件的点
?若存在,请作出点
的位置,并求出这个最短距离;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)证明见解析;(3)存在,作图见解析;点到
三点的距离之和最小值为
米.
【解析】
(1)根据垂线段最短、利用尺规作图作出点P;
(2)将绕点
逆时针旋转
,得到
,将
绕点
逆时针旋转
,得到
,连接
,
,
,根据作图可知
和
均为等边三角形,连接
,根据两点之间线段最短可知,当
时,
短,
(3)以BC为边作正△BCD,使点D与点A在BC两侧,作△BCD的外接圆,连接AD交圆于P,连接PB,作DE⊥AC交AC的延长线于E,根据勾股定理、直角三角形的性质计算,得到答案.
解:(1)如图①,过点作
的垂线,
垂足为,点
记为所求;
(2)如图②,将绕点
逆时针旋转
,得到
,
将绕点
逆时针旋转
,得到
,
连接,
,
,
根据作图可知和
均为等边三角形,
∴,
,
,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
连接,根据两点之间线段最短可知,
当时,
最短,
∵,
∴,
又∵为等边三角形,
∴四点共线,
∴,
∴当时,
最短;
(3)存在符合条件的点.
如解图③,以为作等边
,在作
的外接圆
,
连接,交
于点
,
此时最小,
在上截取
.
∵在等边中,
∴(同弧所对的圆周角相等)
∴为等边三角形,
∴.
∴.
∴.
又∵,
,
∴,
∴,
∴最小.
理由如下:
设点为正方形
内任意一点,
连接,
、
,
将绕点
顺时针旋转
得到
.
∵,
∴为
的最短距离.
在中,
,
米,
∴(米),
(米),
∴(米).
在中,
.
∴点到
三点的距离之和最小值为
米.
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【题目】如图,点的坐标是(-1,0),点
的坐标是(0,6),
为
的中点,将
绕点
逆时针旋转90°.后得到
.若反比例函数
的图像恰好经过
的中点
,则k的值是( )
A.19B.16.5C.14D.11.5
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线分别交
轴、
轴于点
,交直线
于点
.动点
在直线
上以每秒
个单位的速度从点
向终点
运动,同时,动点
以每秒
个单位的速度从点
沿
的方向运动,当点
到达终点
时,点
同时停止运动.设运动时间为
秒.
(1)求点的坐标和
的长.
(2)当时,线段
交
于点
且
求
的值.
(3)在点的整个运动过程中,
①直接用含的代数式表示点
的坐标.
②利用(2)的结论,以为直角顶点作等腰直角
(点
按逆时针顺序排列).当
与
的一边平行时,求所有满足条件的
的值.
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【题目】全球已经进入大数据时代,大数据(bigdata)是指数据规模巨大,类型多样且信息传播速度快的数据库体系.大数据在推动经济发展,改善公共服务等方面日益显示出巨大的价值.为创建大数据应用示范城市,我市某机构针对市民最关心的四类生活信息进行了民意调查(被调查者每人限选一项),下面是根据调查结果绘制出不完整的两个统计图表:
请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)本次参与调查的人数是________,扇形统计图中部分的圆心角的度数是________,并补全条形统计图;
(2)这次调查的市民最关心的四类生活信息的众数是________类;
(3)若我市现有常住人口约600万,请你估计最关心“城市医疗信息”的人数.
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【题目】已知关于x的方程ax2+2x﹣3=0有两个不相等的实数根.
(1)求a的取值范围;
(2)若此方程的一个实数根为1,求a的值及方程的另一个实数根.
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【题目】如图,在正方形ABCD中,AB=3,M是CD边上一动点(不与D点重合),点D与点E关于AM所在的直线对称,连接AE,ME,延长CB到点F,使得BF=DM,连接EF,AF.
(1)依题意补全图1;
(2)若DM=1,求线段EF的长;
(3)当点M在CD边上运动时,能使△AEF为等腰三角形,直接写出此时tan∠DAM的值.
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【题目】如图(1) ,将一个正六边形各边延长,构成一个正六角星形AFBDCE,它的面积为1,取△ABC和△DEF各边中点,连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1,如图(2)中阴影部分;取△A1B1C1和1D1E1F1各边中点,连接成正六角星形A2F2B2D2C2E 2F 2,如图(3) 中阴影部分;如此下去…,则正六角星形AnFnBnDnCnE nF n的面积为_______.
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【题目】如图,在ABCD中,∠ACB=90°,过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E.
(1)求证:四边形ACED是矩形;
(2)连接AE交CD于点F,连接BF.若∠ABC=60°,CE=2,求BF的长.
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