Question

【题目】如图1，点A，O，B依次在直线MN上．将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒18°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿顺时针方向以每秒6°的速度旋转（如图2）．设旋转时间为t（0≤t≤30，单位秒）．

（1）当t＝10时，∠AOB＝　 　°；

（2）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OM是由射线OB、射线OA组成的角（指大于0°而不超过180°的角）的平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．

（3）在运动过程中，当∠AOB＝45°时，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）t=；（3）t=或.

【解析】

（1）当t＝10时，∠AOM＝18°×10＝180°，即OA与ON重合，故

∠AOB=∠BON=60°.

（2）求OA追上OB的大致时刻，得到OM平分∠AOB时的图形，用t表示此时

∠AOM与∠BOM的度数，列方程即可求t.

（3）OA、OB都是顺时针旋转，可理解为初始路程差为180°的追及问题：

当∠AOB第一次达到45°时，OA差300追上OB，路程差为（180-45）°即得18t-6t=180-45；当∠AOB第二次达到45°时，OA追上OB且超过45°，路程差为（180+45）°；

当∠AOB第三次达到45°时，OA再走一圈差45°追上OB，路程差为多转了（180+360-45）°，此时求出的t大于30故不需再求.

(1)当t＝10时，∠AOM＝18°×10＝180°，∠BON＝6°×10＝60°

∠AOB＝180°-∠AOM+∠BON＝60°故答为60°.

(2)存在满足条件的t值.

OA旋转一周所需时间为:360°÷18＝20秒，

此时∠BON＝6°×20＝120°，即OA已经旋转过OB的位置，

若OM平分∠AOB且0°＜∠AOB＜180°位置如图1，

∴∠AOM＝（18t-360）°，∠BOM＝（180-6t）°

∴18t-360=180-6t，解得t=，

（3）如图2，当∠AOB第一次达到45°时，OA比OB多转了（180-45）°

得18t-6t=180-45，解得t=，

如图3，当∠AOB第二次达到45°时，OA比OB多转了（180+45）°，

得18t-6t=180+45，解得t=，

当∠AOB第三次达到45°时，OA比OB多转了（180+360-45）°，

得18t-6t=180+360-45，解得t= 大于30，不合题意，

综上所述，当∠AOB=45°时，t=或.