Question

【题目】如图，四边形是正方形，点是的中点，，交正方形外角的平分线于，连接、、，求证：

；

；

是等腰直角三角形．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

（1）取AB中点M，连接ME，利用正方形的性质和等腰直角三角形的性质，证得△AME≌△ECF，得出结论；

（2）利用（1）图，△AEF是等腰直角三角形，∠2=∠4，∠ACF=∠B，证得结论；

（3）设正方形ABCD边长为2a，则BE=a，过F作FN⊥BC的延长线于N，FP⊥CD于P，证得四边形PCNF是矩形，△FCN是等腰直角三角形，△FNE≌△EBA（AAS），得到FN=BE=a，进而得到DC=FC，即可得到△DFC是等腰直角三角形．

（1）如图（1），取AB中点M，连接ME，则AM=BM=BE=CE=BC，∴在Rt△BME中，∠BME=∠BEM=45°，∴∠AME=135°，∠1+∠2=45°．

∵∠AEF=90°，∴∠1+∠3=45°，∴∠2=∠3．

∵CF是正方形外角的平分线，∴∠DCF=×90°=45°，∴∠ECF=90°+45°=∠AME．

在△AME和△ECF中，∵，∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE=EF．

（2）如图（1）．∵∠AEF=90°，AE=EF，∴△AEF是等腰直角三角形，∴∠EAF=45°，即∠4+∠5=45°．

∵AC为正方形ABCD的对角线，∴∠BAC=45°，即∠2+∠5=45°，∴∠2=∠4．

∵∠DCF=∠DCA=×90°=45°，∴∠ACF=45°+45°=90°=∠B，∴△ABE∽△ACF．

（3）如图（2），设正方形ABCD边长为2a，则BE=a，AE=EF=a．

∵△AEF是等腰直角三角形，∴AF=AE=a．

过F作FN⊥BC的延长线于N，FP⊥CD于P，则四边形PCNF是矩形，∠FNE=90°=∠B．

∵∠FCN=45°，∴△CNF是等腰直角三角形，∴CN=FN．

又由（1）知，∠3=∠2，EF=AE．在△FNE和△EBA中，∵，∴△FNE≌△EBA（AAS），∴FN=BE=a，∴PC=PF=CN=a，∴DP=a，∴DF==，∴DC=FC．

∵∠DCF=45°，∴∠CDF=45°，∴∠DFC=90°，∴△DFC是等腰直角三角形．