Question

如图，对称轴为直线x＝的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．

(1)求抛物线的解析式及抛物线与x轴的另一交点C的坐标；

(2)D为坐标平面上一点，且以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，写出点D的坐标；

(3)如图2，点E（x，y）是抛物线上位于第四象限的一点，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．

①当□OEAF的面积为24时，请判断□OEAF是矩形吗？是菱形吗？

②是否存在点E，使□OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由抛物线的对称轴是，可设解析式为．

把A、B两点坐标代入上式，得

  

解之，得

故抛物线解析式为 (或．

当时，, ∴C(1，0)  

（2）

（3）①根据题意，当S = 24时，即．

            化简，得  解之，得

故所求的点E有两个，分别为．

因为OE不垂直于AE，所以□OEAF不可能是矩形.

因为点满足OE = AE，所以□OEAF是菱形；

因为点不满足OE = AE，所以□OEAF不是菱形

当OA⊥EF，且OA = EF时，□OEAF是正方形，此时点E的坐标只能是（3，－3）．而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，