Question

已知二次函数y=x²+bx+c，（c＜0）的图象与x轴的交点分别为A、B，与y轴的交点为C，设△ABC的外接圆的圆心为点P．
（1）证明：⊙P与y轴的另一个交点为定点；
（2）如果AB恰好为⊙P的直径且S_△ABC=2，求b和c的值．

Answer 1

解：（1）点C的坐标为（0，c），
设A（x₁，0），B（x₂，0），
则x₁+x₂=-b，x₁x₂=c；
设⊙P与y轴的另一个交点为D，
由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，它们的交点为点O，
所以OA×OB=OC×OD，
则；
因为c＜0，
所以点C在y轴的负半轴上，从而点D在y轴的正半轴上，
所以点D为定点，它的坐标为（0，1）；

（2）因为AB⊥CD，如果AB恰好为⊙P的直径，
则C、D关于点O对称，
所以点C的坐标为（0，-1），
即c=-1，
又，
所以，
解得．
分析：（1）根据二次函数与y轴的交点为C，求得C点坐标，舍出A、B两点坐标，利用根与系数的关系以及相交弦定理解答即可；
（2）利用两点之间的距离与三角形的面积计算公式解决问题．
点评：此题主要考查根与系数的关系、相交弦定理、两点间的距离公式以及三角形的面积计算公式．