Question

15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相交于点E
（1）求证：BC是⊙D的切线；
（2）若AB=5，BC=13，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）过点D作DF⊥BC于点F，根据角平分线的性质得到AD=DF．根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据切线的性质得到AB=FB．根据和勾股定理列方程即可得到结论．

解答 （1）证明：过点D作DF⊥BC于点F，
∵∠BAD=90°，BD平分∠ABC，
∴AD=DF．
∵AD是⊙D的半径，DF⊥BC，
∴BC是⊙D的切线；

（2）解：∵∠BAC=90°．
∴AB与⊙D相切，
∵BC是⊙D的切线，
∴AB=FB．
∵AB=5，BC=13，
∴CF=8，AC=12．
在Rt△DFC中，
设DF=DE=r，则
r²+64=（12-r）²，
解得：r=$\frac{10}{3}$．
∴CE=$\frac{16}{3}$．

点评 本题考查了切线的判定，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．