Question

【题目】综合与探究：

（1）操作发现：如图1，点D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连结DC，以DC为边在CD上方作等边△DCE，连结AE．你能发现线段AE与BD之间的数量关系吗？ 证明你发现的结论．

（2）类比猜想：如图2，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其余条件不变，猜想：（1）中的结论是否成立，不用说明理由．

（3）拓展探究：如图3，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合），连结 DC，以DC为边在CD上方和下方分别作等边△DCE和等边△DCE′，连结AE、BE′，探究：AE、BE′与AB有何数量关系？并说明理由．

Answer 1

【答案】（1），证明见解析；（2）成立；（3），理由见解析

【解析】

（1）证明△BCD≌△ACE（SAS）可得结论．
（2）证明△BCD≌△ACE（SAS）可得结论．
（3）由（1）知，同理可证：，利用全等三角形的性质解决问题即可．

（1）

证明：∵和都是等边三角形，

∴，，，，

∴，即，

在和中，

∴，

∴．

（2）仍然成立．

理由：∵△ABC，△DCE都是等边三角形，
∴CB=CA，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°，

∴
∴∠BCD=∠ACE，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴

（3）

理由：由（1）知，则，

同理可证：，则，

∴．