Question

20．如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，E是弧BC上一点，AE交BC于点D．
（1）求证：AB²=AD•AE；
（2）若AB=2，cos∠AEB=$\frac{3}{5}$，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）只要证明△BAD∽△EAB，可得$\frac{AB}{AE}$=$\frac{AD}{AB}$，即可证明．
（2）作直径AF，连接BF．在Rt△ABF中，cos∠F=cos∠AEB=$\frac{3}{5}$=$\frac{BF}{AF}$，设BF=3k，AF=5k，根据AB²=AF²-BF²，可得2²=25k²-9k²，求出k即可解决问题．

解答 （1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=∠E，
∵∠BAD=∠EAB，
∴△BAD∽△EAB，
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{AD}{AB}$，
∴AB²=AD•AE．

（2）作直径AF，连接BF．
∵∠AEB=∠F，∠ABF=90°
在Rt△ABF中，cos∠F=cos∠AEB=$\frac{3}{5}$=$\frac{BF}{AF}$，设BF=3k，AF=5k，
∵AB²=AF²-BF²，
∴2²=25k²-9k²，
∴k=$\frac{1}{2}$或-$\frac{1}{2}$（舍弃），
∴AF=$\frac{5}{2}$，
∴⊙O的半径为$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．