Question

【题目】综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（－2，0），（6，－8）．

（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；

（2）试探究抛物线上是否存在点F，使≌，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q．试探究：当m为何值时，是等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）；B（8,0）；E（3，-4）；（2）（）或（）；（3）或.

【解析】

试题（1）将A，D的坐标代入函数解析式，解二元一次方程即可求出函数表达式；点B坐标：利用抛物线对称性，求出对称轴结合A点坐标即可求出B点坐标；点E坐标：E为直线l和抛物线对称轴的交点，利用D点坐标求出l表达式，令其横坐标为，即可求出点E的坐标；（2）利用全等对应边相等，可知FO=FC，所以点F肯定在OC的垂直平分线上，所以点F的纵坐标为-4，带入抛物线表达式，即可求出横坐标；（3）根据点P在y轴负半轴上运动，∴分两种情况讨论，再结合相似求解.

试题解析：（1）抛物线经过点A（－2，0），D（6，－8），

解得抛物线的函数表达式为

，抛物线的对称轴为直线．又抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（－2，0）．点B的坐标为（8，0）

设直线l的函数表达式为．点D（6，－8）在直线l上，6k=－8，解得．

直线l的函数表达式为

点E为直线l和抛物线对称轴的交点．点E的横坐标为3，纵坐标为，

即点E的坐标为（3，－4）

（2）抛物线上存在点F，使≌．点F的坐标为（）或（）

（3）分两种情况：

①当时，是等腰三角形．

点E的坐标为（3，－4），，过点E作直线ME//PB，交y轴于点M，交x轴于点H，则，点M的坐标为（0，－5）．

设直线ME的表达式为，，解得，ME的函数表达式为，令y=0，得，解得x=15，点H的坐标为（15，0）

又MH//PB，，即，

②当时，是等腰三角形． 当x=0时，，点C的坐标为（0，－8），

，OE=CE，，又因为，，，CE//PB

设直线CE交x轴于点N，其函数表达式为，，解得，

CE的函数表达式为，令y=0，得，，点N的坐标为（6，0）

CN//PB，，，解得

综上所述，当m的值为或时，是等腰三角形．