Question

【题目】我们来定义下面两种数：

（一）平方和数：若一个三位数或者三位以上的整数分拆成最左边、中间、最右边三个数后满足：中间数=（最左边数）2+（最右边数）2，我们就称该整数为平方和数．

例如：对于整数251．它中间的数字是5，最左边数是2，最右边数是1．

是一个平方和数

又例如：对于整数3254，它的中间数是25，最左边数是3，最右边数是4，

是一个平方和数．当然152和4253这两个数也是平方和数；

（二）双倍积数：若一个三位数或者三位以上的整数分拆成最左边、中间、最右边三个数后满足：中间数＝最左边数最右边数，我们就称该整数为双倍积数．

例如：对于整数163，它的中间数是6，最左边数是1，最右边数是3，

是一个双倍积数，

又例如：对于整数3305，它的中间数是30，最左边数是3，最右边数是5，

是一个双倍积数，当然361和5303这两个数也是双倍积数．

注意：在下面的问题中，我们统一用字母表示一个整数分拆出来的最左边数，用字母表示该整数分拆出来的最右边数，请根据上述定义完成下面问题：

（1）①若一个三位整数为平方和数，且十位数为4，则该三位数为________；

②若一个三位整数为双倍积数，且十位数字为 6 ，则该三位数为_________；

③若一个整数既为平方和数，又是双倍积数，则应满足的数量关系为_______；

（2）若（即这是个最左边数为，中间数为565，最右边数为的整数，以下类同）是一个平方和数，是一个双倍积数，求的值．

（3）从所有三位整数中任选一个数为双倍积数的概率．

Answer 1

【答案】(1)①240；②361或163；③；(2)；(3)

【解析】

(1)①根据题意构造关系式，计算即可；

②根据题意构造关系式，计算即可；

③根据定义，这个整数既为平方和数，又是双倍积数则有，由完全平方公式即可解决问题；
(2)根据定义可知，，再由完全平方公式和平方差公式即可求解；

(3)先求得所有三位整数的个数，再分类讨论求得其中为双倍积数的数据个数，利用概率公式即可求解．

(1)①若一个三位整数为平方和数，且十位数为4，
由定义得：，
由为的整数，则试数可知：
或，
由于百位数字不能为0，
∴此数为：240；
②若一个三位整数为双倍积数，且十位数字为6，
由定义得：，即，
由为的整数，则试数可知：
则，或，，
∴此数为：361或163；

③，理由如下：

若一个整数既为平方和数，又是双倍积数
则有，
∴，
∴；
(2)若是一个平方和数，
∴，
若是一个双倍积数，
∴，
∴，即，

∴，
，即，

∴，
∴；

(3) 所有三位整数的个数：(个)，

设十位数字为，由定义得：，

∴十位数字为一定是偶数，

当时，，最左边数，最右边数，满足条件的有9个，

当时，，则，满足条件的有1个，

当时，，则，，满足条件的有2个，

当时，，则，，满足条件的有2个，

当时，，则，，，满足条件的有3个，

900个三位整数中是双倍积数的数有：(个)，

∴从所有三位整数中任选一个数为双倍积数的概率为：．