【题目】(本题10分) 如图,已知:AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,CD是⊙O的切线,AD⊥CD于点D.E是AB延长线上一点,CE交⊙O于点F,连结OC,AC.
(1)求证:AC平分∠DAO.
(2)若∠DAO=105°,∠E=30°.
①求∠OCE的度数.
②若⊙O的半径为2 ,求线段EF的长.
【答案】
(1)
解:∵直线与⊙O相切,
∴OC⊥CD;
又∵AD⊥CD,
∴AD//OC,
∴∠DAC=∠OCA;
又∵OC=OA,
∴∠OAC=∠OCA,
∴∠DAC=∠OAC;
∴AC平分∠DAO.
(2)
解:①∵AD//OC,∠DAO=105°,
∴∠EOC=∠DAO=105°;
∵∠E=30°,
∴∠OCE=45°.
②作OG⊥CE于点G,可得FG=CG,
∵OC=2,∠OCE=45°.
∴CG=OG=2,
∴FG=2;
∵在RT△OGE中,∠E=30°,
∴GE=2,
∴EF=GE-FG=2-2.
【解析】(1)利用了切线的性质,平行线的判定和性质,等边对等角,角平分线的判定即可得证。
(2)①根据(1)得出的AD//OC,从而得出同位角相等,再利用三角形的内角和定理即可求出答案;②作OG⊥CE于点G,可得FG=CG,根据等边对等角得出CG=OG=FG=2,在根据勾股定理得出GE,从而求出EF=GE-FG.
【考点精析】认真审题,首先需要了解平行线的判定与性质(由角的相等或互补(数量关系)的条件,得到两条直线平行(位置关系)这是平行线的判定;由平行线(位置关系)得到有关角相等或互补(数量关系)的结论是平行线的性质),还要掌握三角形的内角和外角(三角形的三个内角中,只可能有一个内角是直角或钝角;直角三角形的两个锐角互余;三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)的相关知识才是答题的关键.
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【题目】阅读理解填空,并在括号内填注理由.
如图,已知AB∥CD,M,N分别交AB,CD于点E,F,∠1=∠2,求证:EP∥FQ.
证明:∵AB∥CD( )
∴∠MEB=∠MFD( ).
又∵∠1=∠2( )
∠MEB﹣∠1=∠MFD﹣∠2( )
即:∠MEP=∠
EP∥ .( )
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【题目】课堂上学习了勾股定理后,知道“勾三、股四、弦五”.王老师给出一组数让学生观察:3、4、5;5、12、13;7、24、25;9、40、41;…,学生发现这些勾股 数的勾都是奇数,且从 3 起就没有间断过,于是王老师提出以下问题让学生解决.
(1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数:11、________、________;
(2)若第一个数用字母a(a为奇数,且a≥3)表示,那么后两个数用含a的代数式分别怎么表示?小明发现每组第二个数有这样的规律4=,12=,24=……,于是他很快表示了第二数为 ,则用含a的代数式表示第三个数为________;
(3)用所学知识证明你的结论.
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【题目】在正方形ABCD中,AC是对角线,今有较大的直角三角板,一边始终经过点B,直角顶点P在射线AC上移动,另一边交DC于点Q.
(1)如图①,当点Q在DC边上时,猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系,并加以证明;
(2)如图②,当点Q落在DC的延长线上时,猜想并写出PB与PQ满足的数量关系,并证明你的猜想.
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【题目】(1)如图①,已知直线l1∥l2,且l3和l1,l2分别交于A,B两点,点P在线段AB上,则∠1,∠2,∠3之间的等量关系是____;
(2)如图②,点A在B处北偏东40°方向,在C处北偏西45°方向,则∠BAC=____°.
(3)如图③,∠ABD和∠BDC的平分线交于点E,BE交AB于点F,∠1+∠2=90°,试说明:AB∥AB,并探究∠2与∠3的数量关系.
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【题目】甲、乙两车从A地驶向B地,并以各自的速度匀速行驶,甲车比乙车早行驶2h,并且甲车途中休息了0.5h(甲车休息前后的速度相同),甲、乙两车行驶的路程y(km)与行驶的时间x(h)的函数图象如图所示.根据图象的信息有如下四个说法:①甲车行驶40千米开始休息②乙车行驶3.5小时与甲车相遇③甲车比乙车晚2.5小时到到B地④两车相距50km时乙车行驶了小时,其中正确的说法有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】我们来定义下面两种数:
(一)平方和数:若一个三位数或者三位以上的整数分拆成最左边、中间、最右边三个数后满足:中间数=(最左边数)2+(最右边数)2,我们就称该整数为平方和数.
例如:对于整数251.它中间的数字是5,最左边数是2,最右边数是1.
是一个平方和数
又例如:对于整数3254,它的中间数是25,最左边数是3,最右边数是4,
是一个平方和数.当然152和4253这两个数也是平方和数;
(二)双倍积数:若一个三位数或者三位以上的整数分拆成最左边、中间、最右边三个数后满足:中间数=最左边数最右边数,我们就称该整数为双倍积数.
例如:对于整数163,它的中间数是6,最左边数是1,最右边数是3,
是一个双倍积数,
又例如:对于整数3305,它的中间数是30,最左边数是3,最右边数是5,
是一个双倍积数,当然361和5303这两个数也是双倍积数.
注意:在下面的问题中,我们统一用字母表示一个整数分拆出来的最左边数,用字母表示该整数分拆出来的最右边数,请根据上述定义完成下面问题:
(1)①若一个三位整数为平方和数,且十位数为4,则该三位数为________;
②若一个三位整数为双倍积数,且十位数字为 6 ,则该三位数为_________;
③若一个整数既为平方和数,又是双倍积数,则应满足的数量关系为_______;
(2)若(即这是个最左边数为,中间数为565,最右边数为的整数,以下类同)是一个平方和数,是一个双倍积数,求的值.
(3)从所有三位整数中任选一个数为双倍积数的概率.
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【题目】如图,已知AD∥BC,∠A=∠C=50°,线段AD上从左到右依次有两点E、F(不与A、D重合)
(1)AB与CD是什么位置关系,并说明理由;
(2)观察比较∠1、∠2、∠3的大小,并说明你的结论的正确性;
(3)若∠FBD:∠CBD=1:4,BE平分∠ABF,且∠1=∠BDC,求∠FBD的度数,判断BE与AD是何种位置关系?
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