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【题目】已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的P点处.

(1)如图1,已知折痕与边BC交于点O,连接APOPOA.若OCPPDA的面积比为1:4,求边CD的长.

(2)如图2,在(1)的条件下,擦去折痕AO、线段OP,连接BP.动点M在线段AP上(点M与点PA不重合),动点N在线段AB的延长线上,且BN=PM,连接MNPB于点F,作MEBP于点E.试问当动点MN在移动的过程中,线段EF的长度是否发生变化?若变化,说明变化规律.若不变,求出线段EF的长度.

【答案】(1)10;(2).

【解析】

(1)先证出∠C=D=90°,再根据∠1+3=90°,1+2=90°,得出∠2=3,即可证出OCP∽△PDA;根据OCPPDA的面积比为1:4,得出CP=AD=4,设OP=x,则CO=8﹣x,由勾股定理得 x2=(8﹣x)2+42,求出x,最后根据AB=2OP即可求出边AB的长;

(2)作MQAN,交PB于点Q,求出MP=MQ,BN=QM,得出MP=MQ,根据MEPQ,得出EQ=PQ,根据∠QMF=BNF,证出MFQ≌△NFB,得出QF=QB,再求出EF=PB,由(1)中的结论求出PB=,最后代入EF=PB即可得出线段EF的长度不变

1)如图1,∵四边形ABCD是矩形,

∴∠C=D=90°,

∴∠1+3=90°,

∵由折叠可得∠APO=B=90°,

∴∠1+2=90°,∴∠2=3,

又∵∠D=C

∴△OCP∽△PDA

∵△OCPPDA的面积比为1:4,

CP=AD=4

OP=x,则CO=8﹣x

RtPCO中,∠C=90°,由勾股定理得 x2=(8﹣x2+42

解得:x=5,AB=AP=2OP=10,∴边CD的长为10;

(2)作MQAN,交PB于点Q,如图2,

AP=ABMQAN

∴∠APB=ABP=MQPMP=MQBN=PM

BN=QM

MP=MQMEPQ

EQ=PQMQAN∴∠QMF=BNF

∴△MFQ≌△NFB

QF=FBEF=EQ+QF=PQ+QB)=PB

由(1)中的结论可得:PC=4,BC=8,C=90°,

PB=EF=PB=2

∴在(1)的条件下,当点MN在移动过程中,线段EF的长度不变,它的长度为2

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