Question

20．如图，?ABCD的顶点A、B的坐标分别是A（-1，0），B（0，-2），顶点C、D在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，边AD交y轴于点E，且四边形BCDE的面积是△ABE面积的3倍．
（1）求证：AE=DE；
（2）求k的值．

Answer 1

分析 （1）利用已知四边形BCDE的面积是△ABE面积的3倍，得出平行四边形ABCD的面积是△ABE面积的4倍，则S_△ABD=2S_△ABE，再利用三角形中线的性质，平分面积进而得出答案；
（2）设E点坐标为（0，t），利用线段中点坐标公式得D点坐标为（1，2t），然后利用平移的性质得到点C（2，-2+2t），再利用反比例函数图象上点的坐标特征得k=1×2t=2×（-2+2t），解得t=2，进而求出k的值．

解答 （1）证明：连结BD，如图，
∵四边形EBCD的面积是△ABE面积的3倍，
∴平行四边形ABCD的面积是△ABE面积的4倍，
∴S_△ABD=2S_△ABE，
∴AD=2AE，即点E为AD的中点，
故AE=DE；

（2）解：设E点坐标为（0，t），
∵A点坐标为（-1，0），
∴D点坐标为（1，2t），
∵AB∥CD，且AB=CD，
而点A（-1，0）先向右平移2个单位，再向上平移2t个单位得到点D（1，2t），
∴点B（0，-2）先向右平移2个单位，再向上平移2t个单位得到点C（2，-2+2t），
把D（1，2t）、C（2，-2+2t）代入y=$\frac{k}{x}$得：
k=1×2t=2×（-2+2t），
解得：t=2，
则k=1×2×2=4．

点评 本题考查了反比例函数综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、平移的性质和平行四边形的性质等知识，根据题意表示出C，D点坐标是解题关键．