Question

19．如图，在边长为a的大正方形中依次作小正方形S₁，小正方形S₂，…小正方形S_n，则小正方形S_n的边长为$\frac{\sqrt{2}}{{3}^{n}}$a．

Answer 1

分析 由勾股定理求出AC，由正方形的性质得出△AMQ、△CNP是等腰直角三角形，得出AM=MN=CN，得出MN=$\frac{1}{3}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{3}$a，同理：GH=$\frac{1}{3}$PQ=$\frac{\sqrt{2}}{{3}^{2}}$a，…，得出规律，即可得出结果．

解答 解：如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=a，∠B=90°，
∴∠DAC=∠DCA=45°，AC=$\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
∵四边形MNPQ是正方形，
∴MN=PN=QM，∠QMN=∠PNM=∠AMQ=∠CNP=90°，
∴△AMQ、△CNP是等腰直角三角形，
∴AM=QM，CN=PN，
∴AM=MN=CN，
∴MN=$\frac{1}{3}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{3}$a，
同理：GH=$\frac{1}{3}$PQ=$\frac{\sqrt{2}}{9}$a=$\frac{\sqrt{2}}{{3}^{2}}$a，…，
∴小正方形S_n的边长为 $\frac{\sqrt{2}}{{3}^{n}}$a；
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{{3}^{n}}$a．

点评 本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，通过计算得出规律是解决问题的关键．