Question

【题目】如图，点O是边长为4的等边三角形ABC的中心，∠EOF的两边与△ABC的边AB，BC分别交于E、F，∠EOF＝120°．

（1）如图①，当E为AB中点时，求∠EOF与△ABC的边所围成的四边形OEBF的面积；

（2）如图②，∠EOF绕点O旋转．在旋转过程中四边形OEBF的面积会改变吗？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）四边形OEBF的面积＝；（2）不变，理由见解析．

【解析】

（1）连接OB，由等边三角形的性质可得∠ABO＝∠CBO＝30°，分别求出OE，OF的长，由面积公式可求解；

（2）连接OB、OC，过点O作ON⊥BC，垂足为N，由“ASA”可证△EOB≌△FOC，可得S△EOB＝S△FOC，由面积公式可求解．

解：（1）连接OB，

∵点O是边长为4的等边三角形ABC的中心，

∴∠ABO＝∠CBO＝30°，

∵当E为AB中点时，

∴AE＝BE＝2，OE⊥AB，

∴∠BOE＝60°，，

∵∠EOF＝120°，

∴∠BOF＝60°，

∴∠BFO＝180°﹣30°﹣60°＝90°，

∴BF＝CF＝2，

∴，

∴四边形OEBF的面积＝；

（2）不变，

理由如下：连接OB、OC，过点O作ON⊥BC，垂足为N，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠ABC＝∠ACB＝60°，

∵点O为△ABC的中心

∴∠OBC＝∠OBA＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB．

∴∠OBA＝∠OBC＝∠OCB＝30°．

∴OB＝OC．∠BOC＝120°，

∵ON⊥BC，BC＝4，

∴BN＝NC＝2，

∴ON＝tan∠OBCBN＝，

∴S△OBC＝ BCON＝ ，

∵∠EOF＝∠BOC＝120°，

∴∠EOF﹣∠BOF＝∠BOC﹣∠BOF，即∠EOB＝∠FOC，

在△EOB和△FOC中，

∴△EOB≌△FOC（ASA），

∴S△EOB＝S△FOC，

∴＝．