Question

16．在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC：∠EDA=1：2，且AC=10，则DE=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 根据∠EDC：∠EDA=1：2，可得∠EDC=30°，∠EDA=60°，进而得出△OCD是等边三角形，再由AC=10，即可求得DE．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，AC=BD=10，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=5，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=5，
∴OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD，
∵∠EDC：∠EDA=1：2，∠EDC+∠EDA=90°，
∴∠EDC=30°，∠EDA=60°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∴∠DCE=90°-∠EDC=60°，
∴∠ODC=∠OCD=60°，
∴∠ODC+∠OCD+∠DOC=180°，
∴∠COD=60°，
∴△OCD是等边三角形，
DE=sin60°•OD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×5=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
故答案为$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查了勾股定理和矩形的性质，根据已知得出三角形OCD是等边三角形是解题关键，此题难度不大．