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【题目】如图1,已知线段AC∥y轴,点B在第一象限,且AO平分∠BAC,AB交y轴与G,连OB、OC.

(1)判断△AOG的形状,并予以证明;
(2)若点B、C关于y轴对称,求证:AO⊥BO;
(3)在(2)的条件下,如图2,点M为OA上一点,且∠ACM=45°,BM交y轴于P,若点B的坐标为(3,1),求点M的坐标.

【答案】
(1)解:△AOG的形状是等腰三角形,

理由如下:

∵AC∥y轴,

∴∠CAO=∠GOA,

∵AO平分∠BAC,

∴∠CAO=∠GAO,

∴∠GOA=∠GAO,

∴AG=OG,

∴△AOG是等腰三角形


(2)解:如图1,接连BC,过O作OE⊥AB于E,过点C作CD⊥x轴于点D,

∵B、C关于y轴对称,AC∥y轴,

∴AC⊥BC,

在Rt△COD和Rt△BOE中,

∴△COD≌△BOE(HL),

∴∠DCO=∠EBO,

∴∠BAC+∠BOC=180°,

设∠BAO=∠CAO=x,∠OBC=∠OCB=y,

∴2x+∠BOC=180°,

又∵2y+∠BOC=180°,

∴x=y,故∠OAC=∠OBC,

∴∠AOB=∠ACB=90°,

∴AO⊥OB


(3)解:如图2,连BC,作MF⊥x轴于F,BH⊥x轴于H,

则∠ACB=90°,

∵∠ACM=45°,

∴CM平分∠ACB,又AM平分∠BAC,

∴BM平分∠ABC,设∠ABM=∠CBM=z,

由(2)可得∠OMB=x+z,∠OBM=y+z=x+z

∴∠OMB=∠OBM,

∴OM=OB

∴△OBM为等腰直角三角形,

∴△OMF≌△OBH(AAS),

∴OF=BH=1,MF=OH=3,

∴M(﹣1,3)


【解析】(1)△AOG的形状是等腰三角形,利用已知条件证明AG=OG即可;(2)接连BC,易证△COD≌△BOE(HL),设∠BAO=∠CAO=x,∠OBC=∠OCB=y,利用全等三角形的性质和已知条件证明∠AOB=∠ACB=90°,即可得到AO⊥BO;(3)连BC,作MF⊥x轴于F,BH⊥x轴于H,易证△OMF≌△OBH,OF=BH=1,MF=OH=3,所以M(﹣1,3).

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