Question

5．现有一组有规律排列的数：1、-1、$\sqrt{2}$、-$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$、-$\sqrt{3}$、1、-1、$\sqrt{2}$、-$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$、-$\sqrt{3}$、…其中，1、-1、$\sqrt{2}$、-$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$、-$\sqrt{3}$这六个数按此规律重复出现．问：
（1）第50个数是什么数？
（2）把从第1个数开始的前2015个数相加，结果是多少？
（3）从第1个数起，把连续若干个数的平方加起来，如果和为520，则共有多少个数的平方相加？

Answer 1

分析 （1）首先根据这列数的排列规律，可得每6个数一个循环：1、-1、$\sqrt{2}$、-$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$、-$\sqrt{3}$；然后用50除以6，根据余数的情况判断出第50个数是什么数即可；
（2）首先用2015除以6，求出一共有多少个循环，以及剩下的数是多少；然后用循环的个数乘以1+（-1）+$\sqrt{2}$+（-$\sqrt{2}$）+（$\sqrt{3}$）+（-$\sqrt{3}$），再加上剩下的数，求出把从第1个数开始的前2015个数相加，结果是多少即可；
（3）首先求出1、-1、$\sqrt{2}$、-$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$、-$\sqrt{3}$六个数的平方和是多少；然后用520除以六个数的平方和，根据商和余数的情况，判断出一共有多少个数的平方相加即可．

解答 解：（1）这列数每6个数一个循环：1、-1、$\sqrt{2}$、-$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$、-$\sqrt{3}$；
∵50÷6=8…2，
∴第50个数是-1．

（2）∵2015÷6=335…5，1+（-1）+$\sqrt{2}$+（-$\sqrt{2}$）+（$\sqrt{3}$）+（-$\sqrt{3}$）=0，
$1+（-1）+\sqrt{2}+（-\sqrt{2}）+\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
∴从第1个数开始的前2015个数的和是：
335×0+$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．

（3）∵${1}^{2}{+（-1）}^{2}{+（\sqrt{2}）}^{2}{+（-\sqrt{2}）}^{2}$${+（\sqrt{3}）}^{2}{+（-\sqrt{3}）}^{2}$=12，
520÷12=43…4，而且${1}^{2}{+（-1）}^{2}{+（\sqrt{2}）}^{2}=4$，
∴43×6+3=261，
即共有261个数的平方相加．

点评 此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：这列数每6个数一个循环：1、-1、$\sqrt{2}$、-$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$、-$\sqrt{3}$，而且每个循环的6个数的和是0．