Question

【题目】四边形是正方形，是直线上任意一点，于点，于点.当点G在BC边上时（如图1），易证DF-BE=EF.

（1）当点在延长线上时，在图2中补全图形，写出、、的数量关系，并证明；

（2）当点在延长线上时，在图3中补全图形，写出、、的数量关系，不用证明.

Answer 1

【答案】（1）图详见解析，BE＝DF+EF，证明详见解析；（2）图详见解析，EF＝DF+BE.

【解析】

（1）根据题意，补全图形，DF、BE、EF的数量关系是：BE＝DF+EF，易证△ABE≌△DAF，根据全等三角形的性质可得AF＝BE，DF＝AE， 由此可得BE＝AF＝AE+EF＝DF+EF； （2）根据题意，补全图形，DF、BE、EF的数量关系是：EF＝DF+BE；易证△ABE≌△DAF，根据全等三角形的性质可得AF＝BE，DF＝AE， 由此可得EF＝AE+AF＝DF+BE．

（1）如图2，DF、BE、EF的数量关系是：BE＝DF+EF，

理由是：∵ABCD是正方形，

∴AB＝DA，∠BAD=90°．

∵BE⊥AG，DF⊥AG，

∴∠AEB＝∠AFD＝90°，

又∵∠BAE+∠DAF＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°，

∴∠ABE＝∠DAF，

在△ABE和△DAF中，

，

∴△ABE≌△DAF（AAS），

∴AF＝BE，DF＝AE，

∴BE＝AF＝AE+EF＝DF+EF；

（2）如图3，DF、BE、EF的数量关系是：EF＝DF+BE；

理由是：∵ABCD是正方形，

∴AB＝DA，∠BAD=90°．

∵BE⊥AG，DF⊥AG，

∴∠AEB＝∠AFD＝90°，

又∵∠BAE+∠DAF＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°，

∴∠ABE＝∠DAF，

在△ABE和△DAF中，

，

∴△ABE≌△DAF（AAS），

∴AF＝BE，DF＝AE，

∴EF＝AE+AF＝DF+BE．