Question

18．如图，M、N分别是平行四边形ABCD的对边AD、BC的中点，且AD=2AB，连接AN、DN、BM、CM，交点分别为P、Q．请判断四边形PMQN是什么特殊四边形？并证明你的结论．

Answer 1

分析 首先证得四边形AMCN与四边形BNDM是平行四边形，继而可证得四边形PMQN为平行四边形，四边形ABNM是菱形，又由AN⊥BM，则可得四边形PMQN是矩形．

解答 解：四边形PMQN是矩形；
证明：连接MN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
又∵M、N分别是AD、BC的中点，
∴AM∥CN，AM=CN，
∴四边形AMCN为平行四边形，
∴QM∥PN．
同理，四边形BNDM为平行四边形，
PM∥QN，
∴四边形PMQN为平行四边形，
∵AD∥BC，AD=BC，M、N是AD、BC中点，
∴AM∥BN，AM=BN=$\frac{1}{2}$AD，
∴四边形ABNM是平行四边形，
又∵AD=2AB，
∴AB=AM，
∴平行四边形ABNM是菱形，
∴AN⊥BM，
即∠MPN=90°，
∴平行四边形PMQN为矩形．

点评 本题综合考查了菱形及矩形的判定，应根据所要证明的结论进行合理推理，解题的关键是了解矩形的判定方法，难度中等．