【题目】如图,△ABC中,AB=AC,AB是⊙O的直径,BC与⊙O交于点D,点E在AC上,且∠ADE=∠B.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为5,CE=2,求△ABC的面积.
【答案】(1)见解析;(2)S△ABC =40.
【解析】
(1)连接OD,证明OD⊥DE即可.因为AB是⊙O的直径,所以∠ADB=90°,因此∠B+∠BAD=90°.因为AO=DO,所以∠BAD=∠ADO.因为∠ADE=∠B,所以∠ADO+∠ADE=90°,即∠ODE=90°.可证DE是⊙O的切线;
(2)由AB=AC,∠ADB=90°可得点D是BC的中点,所以△ABC的面积是△ADC面积的2倍.因为点O是AB的中点,点D是BC的中点,可得AC=2DO=10,∠AED=180°-∠ODE=90°.因为CE=2,所以AE=8,根据射影定理DE2=AECE,所以DE=4,所以S△ABC=2S△ADC=2×(×ACDE)=40.
(1)连接OD,
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°,
∴∠B+∠BAD=90°,
∵AO=DO,
∴∠BAD=∠ADO,
∵∠ADE=∠B,
∴∠ADO+∠ADE=∠BAD+∠B=90°,
即∠ODE=90°,
∴OD⊥DE,
∵OD是⊙O的半径,
∴DE是⊙O的切线;
(2)由(1)知,∠ADB=90°,
∴AD⊥BC,
∵AB=AC,
∴AD是△ABC的中线,
∴点D是BC的中点,
又∵OB=OA,
∴DO是△ABC的中位线,
∵⊙O的半径为5,
∴AC=2DO=10,
∵CE=2,
∴AE=AC-CE=8,
∵DO是△ABC的中位线,
∴DO∥AC,
∴∠EDO+∠AED=180°,
∴∠AED=90°,
∴∠AED=∠DEC=90°,
∴∠EDC+∠C=90°,
∵ADC=180°-∠ADB=90°,
∴∠ADE+∠EDC=90°,
∴∠ADE=∠C,
∵∠AED=∠DEC,∠ADE=∠C,
∴△AED~△DEC,
∴即
,
∴DE=4,
∴S△ADC=ACDE=20,
∵AD是△ABC的中线,
∴S△ABC=2S△ADC=40.
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【题目】某学校为了了解九年级学生寒假的阅读情况,随机抽取了该年级的部分学生进行调查,统计了他们每人的阅读本数,设每名学生的阅读本数为n,并按以下规定分为四档:当n<3时,为“偏少”;当3≤n<5时,为“一般”;当5≤n<8时,为“良好”;当n≥8时,为“优秀”.将调查结果统计后绘制成不完整的统计图表:
阅读本数n(本) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
人数(名) | 1 | 2 | 6 | 7 | 12 | x | 7 | y | 1 |
请根据以上信息回答下列问题:
(1)分别求出统计表中的x,y的值;
(2)求扇形统计图中“优秀”类所在扇形的圆心角的度数;
(3)如果随机去掉一个数据,求众数发生变化的概率,并指出众数变化时,去掉的是哪个数据.
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【题目】重庆某中学组织七、八、九年级学生参加“直辖20年,点赞新重庆”作文比赛,该校将收到的参赛作文进行分年级统计,绘制了如图1和如图2两幅不完整的统计图,根据图中提供的信息完成以下问题.
(1)扇形统计图中九年级参赛作文篇数对应的圆心角是 度,并补全条形统计图;
(2)经过评审,全校有4篇作文荣获特等奖,其中有一篇来自七年级,学校准备从特等奖作文中任选两篇刊登在校刊上,请利用画树状图或列表的方法求出七年级特等奖作文被选登在校刊上的概率.
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【题目】抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B、C,已知A(﹣1,0),C(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,P为线段BC上一点,过点P作y轴平行线,交抛物线于点D,当△BDC的面积最大时,求点P的坐标;
(3)如图2,抛物线顶点为E,EF⊥x轴于F点,M(m,0)是x轴上一动点,N是线段EF上一点,若∠MNC=90°,请指出实数m的变化范围,并说明理由.
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【题目】我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形,下列说法正确的是
A. 任意一个四边形的中点四边形是菱形
B. 任意一个平行四边形的中点四边形是平行四边形
C. 对角线相等的四边形的中点四边形是矩形
D. 对角线垂直的四边形的中点四边形是正方形
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【题目】“凑够一拨人就走,管它红灯绿灯。”曾经有一段时间,“中国式过马路”现象引起社会广泛关注和热议.交通安全与我们的生活息息相关,“珍惜生命,文明出行”是每个公民应遵守的规则.某市为了了解市民对“闯红灯”的认识,随机调查了部分市民,并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图表.(每位市民仅持一种观点)
调查结果统计表
观点 | 频数 |
A. 看到车少可以闯红灯 | 90 |
B. 无论什么时候都不能闯红灯 | |
C. 因为车让行人,行人可以闯红灯 | 60 |
D. 凑够一拨人,大家一起过马路时可以闯红灯 |
根据以上统计图表,解答下列问题:
(1)本次接受调查的市民共有_______人;_______,
_______;
(2)扇形统计图中,扇形的圆心角度数是_______;
(3)若该市约有120万人,请估计“看到车少可以闯红灯”和“因为车让行人,行人可以闯红灯”观点的人数大约共有多少.
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【题目】如图,已知直线AB经过⊙O上的点C,且OA=OB,CA=CB.
(1)求证:直线AB是⊙O的切线;
(2)若∠A=30°,AC=6,求⊙O的周长;
(3)在(2)的条件下,求阴影部分的面积.
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【题目】阅读下列材料,完成任务:
自相似图形
定义:若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形,则称这个图形是自相似图形.例如:正方形ABCD中,点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点,连接EG,HF交于点O,易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形,且与原正方形相似,故正方形是自相似图形.
任务:
(1)图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中,每个正方形与原正方形的相似比为 ;
(2)如图2,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,小明发现△ABC也是“自相似图形”,他的思路是:过点C作CD⊥AB于点D,则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形.已知△ACD∽△ABC,则△ACD与△ABC的相似比为 ;
(3)现有一个矩形ABCD是自相似图形,其中长AD=a,宽AB=b(a>b).
请从下列A、B两题中任选一条作答:我选择 题.
A:①如图3﹣1,若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形,且与原矩形都相似,则a= (用含b的式子表示);
②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形,且与原矩形都相似,则a= (用含n,b的式子表示);
B:①如图4﹣1,若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形,再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形,且分割得到的矩形与原矩形都相似,则a= (用含b的式子表示);
②如图4﹣2,若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形,再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形,且分割得到的矩形与原矩形都相似,则a= (用含m,n,b的式子表示).
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【题目】已知直线MN是线段BC的垂直平分线,垂足为O,P为射线OM上的一点,连接BP,PC.将线段PB绕点P逆时针旋转,得到线段PQ(PQ与PC不重合),旋转角为α(0°<α<180°)直线CQ交MN与点D.
(1)如图1,当α=30°,且点P与点O重合时,∠CDM的度数是 ;
(2)如图2,且点P与点O不重合.
①当α=120°时,求∠CDM的度数;
②用含α的代数式表示∠CDM的度数.
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