【题目】如图,已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3).
(1)求该抛物线所对应的函数关系式;
(2)设抛物线上的一个动点P的横坐标为t(0<t<3),过点P作PD⊥BC于点D. ① 求线段PD的长的最大值;② 当BD=2CD时,求t的值;
(3)若点Q是抛物线的对称轴上的动点,抛物线上存在点M,使得以B、C、Q、M为顶点的四边形为平行四边形,请求出所有满足条件的点M的坐标.
【答案】(1) y=-x2+2x+3;(2)①;②2;(3) (2,3)或(4,-5)或(-2,-5).
【解析】试题分析: (1)将A、B、C三点的坐标代入y=a(x+1)(x-3)即可求出抛物线的解析式.
(2)①过点P作PE⊥x轴于点E,交BC于点F,求出△PBC的最大面积,即可求出PD的最大值.
②过点D作DG⊥x轴于点G,由于DG∥OC,从而可知,从而可求出t的值.
(3)由于BC是B、C、Q、M为顶点的四边形中的一条固定的线段,因此将此线段分为平行四边形的边和对角线进行讨论即可求出M的坐标.
试题解析:
(1)设抛物线所对应的函数关系式为
将A(-1,0),B(3,0),C(0,3)代入得:
解得:
∴抛物线所对应的函数关系式为
(2)①设点P的坐标为(t, )
过P作PN⊥x轴于点F,交BC于点E
设直线BC解析式为y=kx+b
把B(3,0),C(0,3)代入y=kx+b得
解得:k=-1,b=3
∴直线BC解析式为y=-x+3
∴点E坐标为(t, )
PE=-()=
∵OB=OC=3,∴∠OBC=45°
∵PD⊥BC
∴∠PED=45°
∴PD=PE×sin45°=PE=()=-
∴当t=时,PD的最大面积为
②过D作DG⊥x轴于点G,则DG∥OC
∴△BOC∽△BGD
∴
当BD=2CD时,BD:BC=2:3
∴DG=2,即点D的纵坐标为2
把y=2代入y=-x+3得x=1
∴D点坐标为(1,2)
设直线PD解析式为:y=x+b
把D(1,2)代入上式得:
2=1+b,
解得:b=1
∴直线PD解析式为y=x+1
解方程组得: , ( 舍去)
∴当BD=2CD时,t的值为2
{或∵△PDE是等腰直角三角形,∴)
即,
解得: , ( 舍去)}
(3)∵点Q是抛物线的对称轴x=1上的动点,
∴点Q的横坐标为1,
∵点M在抛物线上,∴设点M的坐标为(m, )
(I)如图,当BC、QM为平行四边形的对角线时,
可得:
即:3=1+m,
∴m=2
∴点M坐标为(2,3)
(II)如图,当BQ、MC为平行四边形的对角线时,
可得:
即:3+1=m,
∴m=4
∴点M坐标为(4,-5)
(III)如图,当BM、QC为平行四边形的对角线时,
可得:
即:3+m=1,
∴m=-2
∴点M坐标为(-2,-5)
综合以上所述,满足平行四边形的点M的坐标为(2,3)或(4,-5)或(-2,-5)
点睛: 本题难度较大,考查的是二次函数图象与解析式的灵活运用,一般这样题目都是作为压轴题出现,考生平时应多积累二次函数的综合知识.
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【题目】如图,将二次函数y=x2-m(其中m>0)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,形成新的图象记为y1,另有一次函数y=x+b的图象记为y2,则以下说法:
①当m=1,且y1与y2恰好有三个交点时b有唯一值为1;
②当b=2,且y1与y2恰有两个交点时,m>4或0<m<;
③当m=-b时,y1与y2一定有交点;
④当m=b时,y1与y2至少有2个交点,且其中一个为(0,m).
其中正确说法的序号为 ______ .
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,C是⊙O上一点,过点C的直线交AB的延长线于点D,AE⊥DC,垂足为E,F是AE与⊙O的交点,AC平分∠BAE.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若AE=6,∠D=30°,求图中阴影部分的面积.
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【题目】如图1,Rt△ABC中,∠ACB=Rt∠,AC=8,BC=6,点D为AB的中点,动点P从点A出发,沿AC方向以每秒1个单位的速度向终点C运动,同时动点Q从点C出发,以每秒2个单位的速度先沿CB方向运动到点B,再沿BA方向向终点A运动,以DP,DQ为邻边构造PEQD,设点P运动的时间为t秒.
(1)当t=2时,求PD的长;
(2)如图2,当点Q运动至点B时,连结DE,求证:DE∥AP.
(3)如图3,连结CD.
①当点E恰好落在△ACD的边上时,求所有满足要求的t值;
②记运动过程中PEQD的面积为S,PEQD与△ACD的重叠部分面积为S1,当<时,请直接写出t的取值范围是 ______ .
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【题目】如图,O为直线AB上一点,OD平分∠AOC,∠DOE=90°.
(1)若∠AOC=50°,求出∠BOD的度数;
(2)试判断OE是否平分∠BOC,并说明理由.
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【题目】如图,已知直线AB及直线AB外一点P,按下列要求完成画图和解答:(1)连接PA,PB,用量角器画出∠APB的平分线PC,交AB于点C;
(2)过点P作PD⊥AB于点D;
(3)用刻度尺取AB中点E,连接PE;
(4)根据图形回答:点P到直线AB的距离是线段 的长度.
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