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【题目】如图,已知抛物线与x轴交于A(-1,0)B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3).

1)求该抛物线所对应的函数关系式

(2)设抛物线上的一个动点P的横坐标为t0t3过点PPDBC于点D.求线段PD的长的最大值;② BD=2CD时,求t的值;

3)若点Q是抛物线的对称轴上的动点,抛物线上存在点M,使得以BCQM为顶点的四边形为平行四边形,请求出所有满足条件的点M的坐标.

【答案】(1) y=-x2+2x+3;(2);2;(3) (2,3)或(4,-5)或(-2,-5).

【解析】试题分析: 1)将ABC三点的坐标代入y=ax+1)(x-3)即可求出抛物线的解析式.

2①过点PPEx轴于点E,交BC于点F,求出PBC的最大面积,即可求出PD的最大值.

②过点DDGx轴于点G,由于DGOC,从而可知,从而可求出t的值.

3)由于BCBCQM为顶点的四边形中的一条固定的线段,因此将此线段分为平行四边形的边和对角线进行讨论即可求出M的坐标.

试题解析:

1)设抛物线所对应的函数关系式为

A-10),B30),C03)代入得:

解得:

∴抛物线所对应的函数关系式为

2①设点P的坐标为(t

PPNx轴于点F,交BC于点E

设直线BC解析式为y=kx+b

B30),C03)代入y=kx+b

解得:k=-1,b=3

∴直线BC解析式为y=-x+3

∴点E坐标为(t

PE=-=

OB=OC=3∴∠OBC=45°

PDBC

∴∠PED=45°

PD=PE×sin45°=PE==-

∴当t=时,PD的最大面积为

②过DDGx轴于点G,则DGOC

∴△BOC∽△BGD

BD=2CD时,BDBC=23

DG=2,即点D的纵坐标为2

y=2代入y=-x+3x=1

D点坐标为(12

设直线PD解析式为:y=x+b

D12)代入上式得:

2=1+b,

解得:b=1

∴直线PD解析式为y=x+1

解方程组得: 舍去)

∴当BD=2CD,t的值为2

{或∵△PDE是等腰直角三角形,∴

解得: 舍去)}

3∵点Q是抛物线的对称轴x=1上的动点,

∴点Q的横坐标为1,

∵点M在抛物线上,∴设点M的坐标为(m

I)如图,当BCQM为平行四边形的对角线时,

可得:

即:3=1+m,

m=2

∴点M坐标为(23

II)如图,当BQMC为平行四边形的对角线时,

可得:

即:3+1=m,

m=4

∴点M坐标为(4-5

III)如图,当BMQC为平行四边形的对角线时,

可得:

即:3+m=1,

m=-2

∴点M坐标为(-2-5

综合以上所述,满足平行四边形的点M的坐标为(23)或(4-5)或(-2-5

点睛: 本题难度较大,考查的是二次函数图象与解析式的灵活运用,一般这样题目都是作为压轴题出现,考生平时应多积累二次函数的综合知识.

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①当m=1,且y1y2恰好有三个交点时b有唯一值为1;

②当b=2,且y1y2恰有两个交点时,m>4或0<m

③当m=-b时,y1y2一定有交点;

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(1)当t=2时,求PD的长;

(2)如图2,当点Q运动至点B时,连结DE,求证:DE∥AP.

(3)如图3,连结CD.

①当点E恰好落在△ACD的边上时,求所有满足要求的t值;

②记运动过程中PEQD的面积为S,PEQD与△ACD的重叠部分面积为S1,当时,请直接写出t的取值范围是 ______ .

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