【题目】如图①，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E分别是AB、AC边的中点．将△ABC绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜180°），得到△AB′C′（如图②）．
（1）探究DB′与EC′的数量关系，并给予证明；
（2）当DB′∥AE时，求此时旋转角α的度数；
（3）如图③，在旋转过程中，设AC′与DE所在直线交于点P，当△ADP成为等腰三角形时，求此时的旋转角α的度数．（直接写出结果）
【答案】（1）DB′=EC′；（2）60°；（3）
【解析】
（1）根据SAS推出△B′AD≌△C′AE，再根据全等三角形的性质推出即可．
（2）根据平行线性质得出∠B′DA=∠DAE=90°，求出∠EC′A=30°，根据三角形内角和定理求出即可．
（3）分为两种情况，第一、P在DE上时，AP=AD，AP=DP，DP=AD，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可，第二、P在ED的延长线时，AP=DP，求出∠PAD即可．
（1）DB′=EC′，
证明：如图②，
∵AB=AC，D、E分别是AB、AC的中点，
∴AD=AE，
∵∠B′AC′=∠DAE=90°，
∴∠B′AD=∠C′AE=90°-∠DAC′，
在△B′AD和△C′AE中，
，
∴△B′AD≌△C′AE（SAS），
∴DB′=EC′．
（2）解：∵DB′∥AE，
∴∠ADB′=∠EAD=90°
又∵△B′AD≌△C′AE，
∴∠AEC′=∠ADB′，
∴∠AEC′=90°，
即△AEC′为直角三角形，
又∵AE=
AC=AC′，
∴∠EC′A=30°，
∴α=90°-30°=60°；
（3）解：分为两种情况：
第一种情况：当P在DE上，①当AP=DP时，
∵∠ADP=45°，
∴∠DAP=∠ADP=45°，
∴α=90°-45°=45°；
②当AD=AP时，此时P和E重合，即α=0°；
③当AD=DP时，
∵∠ADP=45°，
∴∠DAP=∠DPA=（180°-∠ADP）=×（180°-45°）=67.5°，
∴α=90°-67.5°=22.5°；
第二种情况：当P点在ED延长线时，∵∠ADP=180°-45°=135°，
∴此时只能AD=AP，
∴∠APD=∠PAD=∠ADE=22.5°，
∴α=90°+22.5°=112.5°．
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【题目】某初中学校欲向高一级学校推荐一名学生，根据规定的推荐程序：首先由本年级200名学生民主投票，每人只能推荐一人(不设弃权票)，选出了票数最多的甲、乙、丙三人.投票结果统计如图一：
其次，对三名候选人进行了笔试和面试两项测试.各项成绩如下表所示：
测试项目 | 测试成绩/分 | ||
甲 | 乙 | 丙 | |
笔试 | 92 | 90 | 95 |
面试 | 85 | 95 | 80 |
图二是某同学根据上表绘制的一个不完全的条形图.
请你根据以上信息解答下列问题：
(1)补全图一和图二；
(2)请计算每名候选人的得票数；
(3)若每名候选人得一票记1分，投票、笔试、面试三项得分按照2:5:3的比确定，计算三名候选人的平均成绩，成绩高的将被录取，应该录取谁?
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【题目】某校为了解本校九年级学生足球训练情况，随机抽查该年级若干名学生进行测试，然后把测试结果分为4个等级：A、B、C、D，并将统计结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据图中的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共调查了 名学生，扇形统计图中，C等级对应的扇形圆心角是 °.
（2）补全条形统计图.
（3）该年级共有900人，估计该年级足球测试成绩为D等的人数为 人.
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【题目】如图所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠α=36°，则长方形卡片的周长为_____．（精确到1mm）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）
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【题目】已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点B(－1，0)和点C(2，3)．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)如果此抛物线上下平移后过点(－2，－1)，请直接写出平移的方向和平移的距离．
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【题目】如图，在ΔABC中，AB=AC,若将ΔABC绕点C顺时针180得到ΔFEC。
（1）试猜想AE与BF有何关系，并说明理由；
（2）若ΔABC的面积为3cm2,求四边形ABFE的面积;
(3)当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形？说明理由。
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【题目】如图，学校准备在教学楼后面搭建一简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为18m），另外三边利用学，校现有总长38m的铁栏围成．
（1）若围成的面积为
，试求出自行车车棚的长和宽；
（2）能围成面积为
的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
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【题目】已知，点
、
，将线段
绕着原点
逆时针方向旋转角度
到
，连接
，将绕着点
顺时针方向旋转角度
至
，连接
.
（1）当
，
时，求的长.
（2）当
，
时，求的长.
（3）已知
，当
时，改变的大小，求
的最大值.
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【题目】学校需要添置教师办公桌椅A、B两型共200套，已知2套A型桌椅和1套B型桌椅共需2000元，1套A型桌椅和3套B型桌椅共需3000元．
（1）求A，B两型桌椅的单价；
（2）若需要A型桌椅不少于120套，B型桌椅不少于70套，平均每套桌椅需要运费10元．设购买A型桌椅x套时，总费用为y元，求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（3）求出总费用最少的购置方案．
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