Question

【题目】如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点．C是⊙O上一个动点．且不与A，B重合．若∠PAC＝α，∠ABC＝β，则α与β的关系是_______．

Answer 1

【答案】或

【解析】

分点C在优弧AB上和劣弧AB上两种情况讨论，根据切线的性质得到∠OAC的度数，再根据圆周角定理得到∠AOC的度数，再利用三角形内角和定理得出α与β的关系.

解：当点C在优弧AB上时，如图，

连接OA、OB、OC，

∵PA是⊙O的切线，

∴∠PAO=90°，

∴∠OAC=α-90°=∠OCA，

∵∠AOC=2∠ABC=2β，

∴2（α-90°）+2β=180°，

∴；

当点C在劣弧AB上时，如图，

∵PA是⊙O的切线，

∴∠PAO=90°，

∴∠OAC= 90°-α=∠OCA，

∵∠AOC=2∠ABC=2β，

∴2（90°-α）+2β=180°，

∴.

综上：α与β的关系是或.

故答案为：或.