【题目】如图,已知抛物线与x轴交于A、轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A(﹣1,0),C(0,2).
(1)求抛物线的表达式;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出P点的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)点E是线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最大?求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标.
【答案】(1)y=﹣x2+x+2(2)P1(,4),P2(, ),P3(,﹣).(3)四边形CDBF的面积最大=,E(2,1)
【解析】试题分析:(1)把A(﹣1,0),C(0,2)代入y=﹣x2+mx+n,然后解方程组即可;(2)先确定出抛物线的对称轴x=,然后△PCD是以CD为腰的等腰三角形分情况讨论即可,(3)求出点B的坐标(4,0),然后求出直线BC的解析式,过点C作CM⊥EF于M,设E(a,﹣a+2),F(a,﹣a2+a+2),然后用a表示出四边形CDBF的面积,利用配方法化为顶点式,利用二次函数的性质可解决问题.
试题解析:(1)∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A(﹣1,0),C(0,2).
解得: ,∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+x+2 ;
(2):y=﹣x2+x+2;∴抛物线的对称轴是x=.
∴OD=.
∵C(0,2),∴OC=2.
在Rt△OCD中,由勾股定理,得
CD=
∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形,
∴CP1=CP2=CP3=CD.
作CH⊥x轴于H,
∴HP1=HD=2,∴DP1=4.
∴P1(,4),P2(, ),P3(,﹣).
(3)当y=0时,0=﹣x2+x+2
∴x1=﹣1,x2=4,
∴B(4,0).
设直线BC的解析式为y=kx+b,由图象,得,解得: ,
∴直线BC的解析式为:y=﹣x+2.
如图2,过点C作CM⊥EF于M,
设E(a,﹣ a+2),F(a,﹣a2+a+2),
∴EF=﹣a2+a+2﹣(﹣a+2)=﹣a2+2a(0≤x≤4).
∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BDOC+EFCM+EFBN,
=+a(﹣a2+2a)+(4﹣a)(﹣a2+2a),
=﹣a2+4a+(0≤x≤4).
=﹣(a﹣2)2+
∴a=2时,S四边形CDBF的面积最大=,
∴E(2,1)
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【题目】据报道,泉州市每年因漏水造成水资源浪费相当严重,每年的漏水量相当于一个小型自来水厂一年的供水量。据不完全统计,全市至少有个水龙头、个抽水马桶存在漏水,若一个关不紧的水龙头一个月漏水,一个抽水马桶一个月漏水,那么泉州市一个月因漏水而造成水浪费是多少?(结果精确到千位)
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某地电话拨号入网有两种收费方式,用户可以任选其一:
(A)计时制:0.05元/分;
(B)包月制:50元/月(限一部个人住宅电话上网).
此外,每一种上网方式都得加收通信费0.02元/分.
(1)某用户某月上网的时间为分,请你用含的代数式分别写出两种收费方式下该用户应该支付的费用;
(2)如果某用户一个月内上网的时间为20小时,你认为采用哪种方式较为合算?
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】(7分)某地政府急灾民之所需,立即组织12辆汽车,将A、B、C三种救灾物资共92吨一次性运往灾区,甲、乙、丙三种车型的汽车分别运载A、B、C三种物资,每辆车按运载量满装物资。假设装运A、B品种物资的车辆数分别为、,根据下表提供的信息解答下列问题:
车型 | 甲 | 乙 | 丙 |
汽车运载量(吨/辆) | 5 | 8 | 10 |
(1)装运C品种物资车辆数为 辆(用含与的代数式表示);
(2)试求A、B、C三种物资各几吨。
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