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【题目】如图,已知抛物线x轴交于A、轴交于AB两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A10),C02).

1)求抛物线的表达式;

2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出P点的坐标;如果不存在,请说明理由;

3)点E是线段BC上的一个动点,过点Ex轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最大?求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标.

【答案】1y=x2+x+22P14),P2 ),P3.3)四边形CDBF的面积最大=E21

【解析】试题分析:(1)把A10),C02)代入y=x2+mx+n,然后解方程组即可;(2)先确定出抛物线的对称轴x=,然后PCD是以CD为腰的等腰三角形分情况讨论即可,(3)求出点B的坐标(40),然后求出直线BC的解析式,过点CCMEFM,设Eaa+2),Faa2+a+2),然后用a表示出四边形CDBF的面积,利用配方法化为顶点式,利用二次函数的性质可解决问题.

试题解析:(1∵抛物线y=x2+mx+n经过A10),C02).

解得: ∴抛物线的解析式为:y=x2+x+2

2):y=x2+x+2∴抛物线的对称轴是x=

OD=

C02),OC=2

RtOCD中,由勾股定理,得

CD=

∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形,

CP1=CP2=CP3=CD

CHx轴于H

HP1=HD=2DP1=4

P14),P2 ),P3.

3)当y=0时,0=x2+x+2

x1=﹣1x2=4

B40).

设直线BC的解析式为y=kx+b,由图象,得,解得:

∴直线BC的解析式为:y=x+2

如图2,过点CCMEFM

Ea a+2),Faa2+a+2),

EF=a2+a+2a+2=a2+2a0≤x≤4).

S四边形CDBF=SBCD+SCEF+SBEF=BDOC+EFCM+EFBN

=+aa2+2a+4a)(a2+2a),

=a2+4a+0≤x≤4).

=a22+

a=2时,S四边形CDBF的面积最大=

E21

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车型

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