Question

6．已知O为直线AB上的一点，∠COE是直角，OF平分∠AOE．
（1）如图一，若∠COF=35°，求∠BOE的度数；
（2）如图二：若∠BOE=4∠EOF，则在∠BOE内是否存在射线OD，使得∠AOD的补角与∠AOC的和等于∠DOE度数的一半？若存在，求出∠AOD的度数；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据余角的概念求出∠EOF的度数，根据角平分线的定义求出∠AOE的度数，根据邻补角的概念计算即可；
（2）假设在∠BOE内存在射线OD，根据已知和角平分线的定义分别求出∠AOF、∠EOF、∠BOE的度数，根据题意列出算式，即可求出∠AOD的度数．

解答 解：（1）∵∠COE是直角，∠COF=35°，
∴∠EOF=55°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE=110°，
∴∠BOE=70°；
（2）假设在∠BOE内存在射线OD，使得∠AOD的补角与∠AOC的和等于∠DOE度数的一半，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠EOF，又∠BOE=4∠EOF，
∴∠AOF=∠EOF=30°，∠BOE=120°，
∵∠COE是直角，
∴∠AOC=30°，
由题意得，∠BOD+30°=$\frac{1}{2}$（120°-∠BOD），
解得，∠BOD=20°，
则∠AOD=160°．
∴在∠BOE内存在射线OD，使得∠AOD的补角与∠AOC的和等于∠DOE度数的一半，∠AOD=160°．

点评 本题考查的是余角和补角的概念和性质以及角平分线的定义，掌握两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补是解题的关键．