Question

已知a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，若关于x的方程（b+c）x²-2ac+c-b=0有两个相等的实数根，且sinBcosA-cosBsinA=0，试判断△ABC的形状．

Answer 1

考点：根的判别式

专题：

分析：由于关于x的方程（b+c）x²-2ax+c-b=0有两个相等的实根，所以判别式△=（-2a）²-4（b+c）（c-b）=0，解可得：a²+b²-c²=0，即a²+b²=c²；又已知sinBcosA-cosBsinA=0，可得∠A=∠B．根据这两个条件可以判断△ABC的形状为等腰直角三角形．

解答：解：∵关于x的方程（b+c）x²-2ax+c-b=0有两个相等的实根，
∴（-2a）²-4（b+c）（c-b）=0，
化简，得a²+b²-c²=0，
即a²+b²=c²．
又∵sinBcosA-cosBsinA=0，
∴sin（B-A）=0，
∵-

π

2

＜C-A＜

π

2

，
∴∠B-∠A=0，
∴∠A=∠B，
∴a=b，
∴△ABC的形状为等腰直角三角形．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了等腰直角三角形的判定以及两角差的正弦函数公式．