Question

【题目】如图1，已知直线，且和之间的距离为，小明同学制作了一个直角三角形硬纸板，其中，，.小明利用这块三角板进行了如下的操作探究：

(1)如图1，若点在直线上，且.求的度数；

(2)若点在直线上，点在和之间(不含、上)，边、与直线分别交于点和点.

①如图2，、的平分线交于点.在绕着点旋转的过程中，的度数是否变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由；

②如图3，在绕着点旋转的过程中，设，，求的取值范

Answer 1

【答案】（1）；（2）①不变，；②.

【解析】

（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠1的度数；

（2）①先根据四边形的内角和得∠AKD+∠CDK=360°-90°-60°=210°，由角平分线的定义和三角形的内角和可得结论；

②先根据①的结论，结合平行线的性质得：n=2m-110，确认点C边界上两点时，n的取值，代入n=2m-110，可得结论．

（1）如图1，∵∠ACB=90°，∠ACE=20°，

∴∠ECB=90°-20°=70°，

∵EF∥GH，

∴∠1=∠ECB=70°；

（2）①在△ABC绕着点A旋转的过程中，∠O的度数不发生变化，

理由是：如图2，

∵∠BAC=60°，∠ACB=90°，

∴∠AKD+∠CDK=360°-90°-60°=210°，

∵∠AKD、∠CDK的平分线交于点O，

∴∠OKD=∠AKD，∠ODK=∠CDK，

∴∠OKD+∠ODK=105°，

∴∠O=180°-105°=75°；

②∵EF∥GH，

∴∠EAK=∠AKD=n°，

由①知：∠AKD+∠CDK=210°，

∴n+4m-3n-10=210，

n=2m-110，

如图3，点C在直线EF上时，∠EAK=n=180°-60°=120°，

如图4，∵AC=1，且EF和GH之间的距离为1，

∴点C在直线GH上时，∠EAK=n=90°-60°=30°，

∵点C在EF和GH之间（不含EF、GH上），

∴30°＜n＜120°，

即30＜2m-110＜120，

∴m的取值范围是：70°＜m＜115°．