Question

【题目】2012义乌市）在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1 ．
（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；
（2）如图2，连接AA1 ， CC1 ． 若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；
（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1 ， 求线段EP1长度的最大值与最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，

∴∠CC1B=∠C1CB=45°，

∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°

（2）解：∵△ABC≌△A1BC1，

∴BA=BA1，BC=BC1，∠ABC=∠A1BC1，

∴ ，∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1，

∴∠ABA1=∠CBC1，

∴△ABA1∽△CBC1．

∴ ，

∵S△ABA1=4，

∴S△CBC1=

（3）解：①如图1，

过点B作BD⊥AC，D为垂足，

∵△ABC为锐角三角形，

∴点D在线段AC上，

在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°= ，

当P在AC上运动，BP与AC垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，最小值为：EP1=BP1﹣BE=BD﹣BE= ﹣2；

②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，最大值为：EP1=BC+BE=2+5=7

【解析】（1）由由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1 ， 又由等腰三角形的性质，即可求得∠CC1A1的度数；（2）由△ABC≌△A1BC1 ， 易证得△ABA1∽△CBC1 ， 然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△CBC1的面积；（3）由①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小；②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，即可求得线段EP1长度的最大值与最小值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的判定与性质的相关知识，掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方，以及对旋转的性质的理解，了解①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了．