Question

【题目】已知：二次函数的图象与轴交于两点，其中点，与轴负半轴交于点，起对称轴是直线．

（1）求二次函数的解析式；

（2）圆经过点的外接圆，点是延长线上一点，的平分线交圆于点，连接、，求的面积；

（3）在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在点，使得？如果存在，请求出所有符合条件的点坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，，

【解析】

（1）根据抛物线的对称性，可以求出点B的坐标，再用待定系数法求解即可；

（2）根据以及圆的相关性质，可知△ＡＢＤ为等腰直角三角形，从而得出与的数量关系，列式求解即可；

（3）使得的点存在两种情况，利用相似导出线段之间的比值，再用直线和抛物线的解析式联立求得相关点的坐标．

（1）∵点，对称轴为

∴

将、、代入中

解得

∴抛物线的解析式为：

（2）∵，，

∴，，，

∴

又∵，

∴，

∴，

∴

∴为圆的直径，点坐标为，

∴

又∵平分，

∴，

∴，为等腰直角三角形．

连接，则，，

∴，点坐标为

设与轴交于点，

∵，

∴，

∴

作轴于点，

∵，

∴，

∴；

（3）抛物线上存在点，使得．分两种情况讨论：

①过点作直线，交轴于．

∵，

∴，

又∵，

∴，直线与抛物线在点右侧的交点即为点．

∵，，

∴，

∴

∵

∴，．

设直线的解析式为

则有，

解得，

直线的解析式为

∴

解得，（舍）

∴

②过点作，交轴于点．

∵，

∴

即直线与抛物线在点右侧的交点即为点

又∵，

∴

∴

∴

∴

设直线的解析式为

则有，解得，

∴直线的解析式为

∴，解得，（舍）

∴

∴符合条件的点有两个：，．