Question

【题目】将一个正方形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，，点．动点在边上，点在边上，沿折叠该纸片，使点的对应点始终落在边上（点不与重合），点落在点处，与交于点．

（Ⅰ）如图①，当时，求点的坐标；

（Ⅱ）如图②，当点落在的中点时，求点的坐标；

（Ⅲ）随着点在边上位置的变化，的周长是否发生变化？如变化，简述理由；如不变，直接写出其值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）不变，的周长为8．

【解析】

（Ⅰ）根据含30°直角三角形的性质以及勾股定理，在Rt△AEM中运用勾股定理列出方程即可解答；

（Ⅱ）由题意可得AM=MC=2，设AE=a，则OE=EM=4-a，在Rt△AEM中，利用勾股定理列出方程即可解答；

（Ⅲ）如图，连接OM，OP，过点O作OQ⊥MP于点Q，由折叠的性质及平行线的性质得到∠MOB=∠OMP，进而证明△AMO≌△QMO（AAS），得到AM=QM，AO=QO，再证明Rt△QOP≌Rt△BOP（HL），得到QP=BP，将△MPC的周长进行转化即可得到AC+BC=8即可．

解：（Ⅰ）当时，

∵四边形AOBC是正方形，

∴∠OAC=90°，

∴AM=，

由折叠可知，OE=EM，

设AM=x，则EM=OE=2x，

∵，

∴OA=4，

∴AE=4-2x，

在Rt△AEM中，AM2+AE2=EM2，

即，解得：，（舍去）

∴OE=2x=，

∴；

（Ⅱ）∵AC=4，

∴当点落在的中点时，AM=MC=2，

设AE=a，则OE=EM=4-a，

则在Rt△AEM中，AM2+AE2=EM2，

即，解得：，

∴OE=，

∴；

（Ⅲ）不变，的周长为8，

如图，连接OM，OP，过点O作OQ⊥MP于点Q，

由折叠可知，∠EMP=∠AOB=90°，OE=EM，

∴∠EOM=∠EMO，

∴90°-∠EOM=90°-∠EMO，即∠MOB=∠OMP，

又∵正方形AOBC中，AC∥OB，

∴∠AMO=∠MOB，

∴∠AMO=∠OMP，

在△AMO与△QMO中，

∠OAM=∠OQM=90°，∠AMO=∠OMQ，OM=OM，

∴△AMO≌△QMO（AAS），

∴AM=QM，AO=QO，

又∵AO=BO，

∴QO=BO，

∴在Rt△QOP与Rt△BOP中，

OP=OP，QO=BO，

∴Rt△QOP≌Rt△BOP（HL），

∴QP=BP，

∴的周长=MC+PC+MP

=MC+PC+MQ+QP

=MC+AM+PC+BP

=AC+BC

=8

∴随着点在边上位置的变化，的周长不变，周长为8．