Question

【题目】如图，抛物线上有一点，的横坐标为1，过作轴，与抛物线的另一个交点为，且，作轴，垂足为，抛物线与轴正半轴交于点，连结，与交于点．

（1）当时，①求点的坐标：②求的面积：

（2）当是以为腰的等腰三角形时，求的值．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）3或

【解析】

（1）将代入解析式，先求得P点坐标，再由对称轴求得B点坐标，由即可求出Q的坐标；根据图象中的相似三角形可得出的值，由的面积可求得的面积；

（2）先由解析式得出相关点的坐标，用含b的代数式表示线段的长，当是以为腰的等腰三角形时，分两类情况：或，分情况求解即可．

解：（1）①当 时，，抛物线的对称轴为直线，

∵的横坐标为1，

将代入，得：，

∴点的坐标为，

∵轴，与抛物线的另一个交点为，，

∴点与点B关于直线对称，则点的坐标为，

∴，则，

∴点的横坐标为 5，

∴点的坐标为；

②令，即，

解得：，

∴点的坐标为，

∵轴，

∴点的坐标为，

∴，

∵，

∴，

∴，即，

∴的面积∶的面积，

则的面积∶的面积，

∵的面积，

∴的面积；

（2）由，得，抛物线的对称轴为直线，

∴，，则，，

，

令，即，

解得：，

∴点的坐标为，

，则，

∵，

∴为等腰直角三角形，

∴，

∵轴

∴

当是以为腰的等腰三角形时，则有或，

①当时，则,

∴，即，

∴

由得：，

解得：；

②当时，

在中，，，

，

，

解得：

综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，的值为3或．