【题目】操作体验:如图,在矩形ABCD中,点E、F分别在边AD、BC上,将矩形ABCD沿直线EF折叠,使点D恰好与点B重合,点C落在点C'处.点P为直线EF上一动点(不与E、F重合),过点P分别作直线BE、BF的垂线,垂足分别为点M和N,以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN.
(1)如图1,求证:BE=BF;
(2)特例感知:如图2,若DE=5,CF=3,当点P在线段EF上运动时,求平行四边形PMQN的周长;
(3)类比探究:如图3,当点P在线段EF的延长线上运动时,若DE=a,CF=b.请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系.(不要求写证明过程)
【答案】(1)证明见解析;(2)8;(3)QN﹣QM=.
【解析】
(1)证明∠BEF=∠BFE即可解决问题(也可以利用全等三角形的性质解决问题即可).
(2)如图2中,连接BP,作EH⊥BC于H,则四边形ABHE是矩形.利用等面积法证明PM+PN=EH,利用勾股定理求出AB即可解决问题.
(3)如图3中,连接BP,作EH⊥BC于H.由S△EBPS△BFP=S△EBF,可得BEPMBFPN=BFEH,由BE=BF,推出PMPN=EH=,即可得到QNQM=PMPN=.
(1)如图1中,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠DEF=∠EFB,
由翻折可知:∠DEF=∠BEF,
∴∠BEF=∠EFB,
∴BE=BF;
(2)如图2中,连接BP,作EH⊥BC于H,则四边形ABHE是矩形,EH=AB,
∵DE=EB=BF=5,CF=3,
∴AD=BC=8,AE=3,
在Rt△ABE中,∵∠A=90°,BE=5,AE=3,
∴AB=,
∵S△BEF=S△PBE+S△PBF,PM⊥BE,PN⊥BF,
∴BFEH=BEPM+BFPN.
∵BE=BF,
∴PM+PN=EH=4.
∵四边形PMQN是平行四边形,
∴四边形PMQN的周长=2(PM+PN)=8;
(3)如图3中,连接BP,作EH⊥BC于H.
∵ED=EB=BF=a,CF=b,
∴AD=BC=a+b,
∴AE=ADDE=b,
∴EH=AB=,
∵S△EBPS△BFP=S△EBF,
∴BEPMBFPN=BFEH,
∵BE=BF,
∴PMPN=EH=,
∵四边形PMQN是平行四边形,
∴QNQM=PMPN=.
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【题目】如图1,在边长为4的菱形ABCD中,AC为其对角线,∠ABC=60°点M、N分别是边BC、边CD上的动点,且MB=NC.连接AM、AN、MN.MN交AC于点P.
(1)△AMN是什么特殊的三角形?说明理由.并求其面积最小值;
(2)求点P到直线CD距离的最大值;
(3)如图2,已知MB=NC=1,点E、F分别是边AM、边AN上的动点,连接EF、PF,EF+PF是否存在最小值?若存在,求出最小值及此时AE、AF的长;若不存在,请说明理由.
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【题目】列方程,解应用题
甲乙两人相约周末到影院看电影,他们的家分别距离影院1200米和2000米,两人分别从家中同时出发,已知甲和乙的速度比是,结果甲比乙提前4分钟到达影院.
(1)求甲、乙两人的速度?
(2)在看电影时,甲突然接到家长电话让其15分钟内赶回家,时间紧迫改变速度,比来时每分钟多走25米,甲是否能按要求时间到家?
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【题目】某校八年级学生全部参加“初二生物地理会考”,从中抽取了部分学生的生物考试成绩,将他们的成绩进行统计后分为A,B,C,D四等,并将统计结果绘制成如下的统计图,请结合图中所给的信息解答下列问题
(1)抽取了______名学生成绩;(2)请把条形统计图补充完整;
(3)扇形统计图中等级D所在的扇形的圆心角度数是______;
(4)若A,B,C代表合格,该校初二年级有300名学生,求全年级生物合格的学生共约多少人
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【题目】如图,直角坐标系中,三角形ABC的顶点都在网格点上,其中A(2,), B(4,3), C(1,2).
(1)将三角形ABC先向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到三角形,则三角形的三个顶点坐标。( ),( ),( ).
(2)求三角形ABC的面积.
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【题目】将四张边长各不相同的正方形纸片按如图方式放入矩形内(相邻纸片之间互不重叠也无缝隙),未被四张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示.设右上角与左下角阴影部分的周长的差为.若知道的值,则不需测量就能知道周长的正方形的标号为( )
A.①B.②C.③D.④
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【题目】已知,如图,直线MN交⊙O于A,B两点,AC是直径,AD平分∠CAM交⊙O于D,过D作DE⊥MN于E.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若DE=2cm,AE=1cm,求⊙O的半径.
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【题目】小亮、小颖的手上都有两根长度分别为5、8的木棒,小亮与小颖都想通过转动转盘游戏来获取第三根木棒,如图,一个均匀的转盘被平均分成6等份,分别标有木棒的长度2,3,5,8,10,12这6个数字.小亮与小颖各转动转盘一次,停止后,指针指向的数字即为转出的第三根木棒的长度.若三根木棒能组成三角形则小亮获胜,三根木棒能组成等腰三角形则小颖获胜.
(1)小亮获胜的概率是 ;
(2)小颖获胜的概率是 ;
(3)请你用这个转盘设计一个游戏,使得对小亮与小颖均是公平的;
(4)小颖发现,她连续转动转盘10次,都没转到5和8,能不能就说小颖获胜的可能性为0?为什么?
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【题目】如图:(1)写出△ABC中点A、点C坐标;(2)画出△ABC绕点A管好逆时针旋转90°后的△AB'C';(3)在(2)的条件下,求点C旋转到C'所经过的路线长。(结果保留)
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