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【题目】如图1,在边长为4的菱形ABCD中,AC为其对角线,∠ABC=60°点MN分别是边BC、边CD上的动点,且MB=NC.连接AMANMNMNAC于点P


1)△AMN是什么特殊的三角形?说明理由.并求其面积最小值;
2)求点P到直线CD距离的最大值;


3)如图2,已知MB=NC=1,点EF分别是边AM、边AN上的动点,连接EFPFEF+PF是否存在最小值?若存在,求出最小值及此时AEAF的长;若不存在,请说明理由.

【答案】1)△AMN为等边三角形,;(2;(3)存在,

【解析】

1)△AMN是等边三角形,AMBC时面积最小.只要证明△AMB≌△ANC,推出AM=AN,∠BAM=CAN即可解决问题.
2)如图2中,当AMBC时,点PCD距离最大.作PECDE
3)如图3中,作点P关于AN的对称点为K,过点KAM的垂线,交ANF,交AME,此时,EF+PF最短,连接AK、作AGMNGMHABH.首先求出AMAG的长,再证明△AGP≌△KEA,推出KE=AG即可.

解:(1)△AMN为等边三角形;

如图1中,

ABCD是菱形,∠ABC=60°,
∴△ABC为等边三角形
在△AMB和△ANC中,
AB=AC
B=ACN=60°
BM=NC
∴△AMB≌△ANC
AM=AN,∠BAM+MAC=MAC+NAC=60°,
∴∠MAN=60°,
∴△AMN为等边三角形,
AMBC时,△AMN的边长最小,面积最小,
此时AM=MN=AN=
2)如图2中,

AMBC时,点PCD距离最大.作PECDE
理由:由(1)可知△AMN是等边三角形,
AMBC时,△AMN的边长最小,此时PA长最小,PC的长最大,点P到直线CD距离的最大,
BM=MC=2,∠CMP=30°,∠MPC=90°,
PC=MC=1
RtPCE中,∵∠CPE=30°,PC=1
EC=PC=
PE=
∴点P到直线CD距离的最大值为
3)如图3中,作点P关于AN的对称点为K,过点KAM的垂线,交ANF,交AME,此时,EF+PF最短,由于对称,PF=KFEF为垂线段(垂线段最短).

连接AK、作AGMNGMHABH
RtBMH中,∵BM=1,∠BMH=30°,
BH=HM=

∵△AMN是等边三角形,
AG=
∵∠APG=PCM+PMC=60°+PMC
∵∠PMC+PCM+CPM=180°,∠NAP+ANP+APN=180°,∠ANP=PCM=60°,∠APN=CPM
∴∠CMP=NAP=NAK
∵∠EAK=EAN+NAK=60°+NAK
∴∠APG=EAK
∵∠AGP=AEK=90°,AP=AK
∴△AGP≌△KEA
KE=AG=
EF+PF的最小值为
∵∠PCN=PCM

PN=
AE=PG=GN-PN=
∵在RtAFE中,∠AFE=30°,∴AF=2AE
AF=

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