Question

【题目】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，△ADC和△CEB全等吗?请说明理由.

（2）聪明的小亮发现，当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，可得DE＝AD＋BE，请你说明其中的理由。

（3）小亮将直线MN绕点C旋转到图2的位置，线段DE、AD、BE之间存在着什么的数量关系，请写出这一关系，并说明理由.

Answer 1

【答案】(1) △ADC≌△CEB；（2）理由见详解；（3）理由见详解.

【解析】

(1）由∠ACB=90°，得∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，则∠ADC=∠CEB=90°，根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得Rt△ADC≌Rt△CEB，

(2) 由（1）可知△ADC≌△CEB所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=DC+CE=BE+AD．
(3)根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得△ADC≌△CEB，得到AD=CE，DC=BE，所以DE=CE-CD=AD-BE．

（1）证明：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，

而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，

∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，

∴∠ACD=∠CBE．

在△ADC和△CEB中，

∠ADC＝∠CEB

∠ACD＝∠CBE

AC＝CB，

∴△ADC≌△CEB（AAS）.

(2)由（1）可知△ADC≌△CEB，

∴AD=CE，DC=BE，

∴DE=DC+CE=BE+AD；

(3) 证明：在△ADC和△CEB中，

∠ADC＝∠CEB＝90°

∠ACD＝∠CBE

AC＝CB，

∴△ADC≌△CEB(AAS)，

∴AD=CE，DC=BE，

∴DE=CE-CD=AD-BE；