Question

10．如图是正八边形ABCDEFGH，点P是正八边形内的一动点，当点P到各边距离之和为16cm时，则正八边形的边长为4tan22.5°．

Answer 1

分析 过点P作MN⊥DE，交DE于M，OQ⊥EF于点Q，由四边形ABCDEFGH是正八边形，易得点P到各边的距离之和为4MN，进而求出MN，得到OQ的值，利用RT△FQO，求出FQ=2tan22.5°，即可得出正八边形的边长EF．

解答 解：如图，过点P作MN⊥DE，交DE于M，OQ⊥EF于点Q，

∵四边形ABCDEFGH是正八边形，
∴AH∥DE，
∴MN⊥AH于点N，
∵点P到各边的距离之和为4MN，
∴MN=16÷4=4，
∴OQ=2，
∵四边形ABCDEFGH是正八边形，
∴∠FOQ=$\frac{1}{2}$∠FOE=$\frac{1}{2}$×45°=22.5°，
∴FQ=2tan22.5°，
∴EF=2×2tan22.5°=4tan22.5°，
∴正八边形的边长为4tan22.5°，
故答案为：4tan22.5°．

点评 本题考查的是正多边形和锐角三角函数的定义，根据题意画出图形，利用数形结合求解时是解答此题的关键．