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【题目】如图1,已知直角三角形ABC,∠ACB90°,∠BAC30°,点DAC边上一点,过DDEAB于点E,连接BD,点FBD中点,连接EFCF

1)发现问题:线段EFCF之间的数量关系为_____;∠EFC的度数为_____

2)拓展与探究:若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角(0°<α30°),如图2所示,(1)中的结论还成立吗?请说明理由;

3)拓展与运用:如图3所示,若△AED绕点A旋转的过程中,当点D落到AB边上时,AB边上另有一点GADDGGBBC3,连接EG,请直接写出EG的长度.

【答案】1EFCF120°;(2)结论成立,见解析;(3EG.

【解析】

1)利用直角三角形斜边中线定理及三角形外角性质解决问题即可;(2)结论成立.如图2中,取AB的中点MAD的中点N,连接MCMFEDENFN.想办法证明MFC≌△NEFSAS),可得结论;(3)如图3中,作EHABH.想办法求出EHHG即可解决问题.

1)如图1中,

DEAB

∴∠BED90°

∵∠BCD90°BFDF,∠A=30°

FEFBFDCF,∠ABC=60°

∴∠FBE=∠FEB,∠FBC=∠FCB

∴∠EFC=∠EFD+CFD=∠FBE+FEB+FBC+FCB2(∠FBE+FBC)=2ABC120°

故答案为:EFCF120°

2)结论成立.

理由:如图2中,取AB的中点MAD的中点N,连接MCMFEDENFN

BMMABFFD

MFADMFAD

ANND

MFANMFAN

∴四边形MFNA是平行四边形,

NFAM,∠FMA=∠ANF

RtADE中,∵ANND,∠AED90°

ENADANND,同理CMABAMMB

AENACM中,

AEN=∠EAN,∠MCA=∠MAC

∵∠MAC=∠EAN

∴∠AMC=∠ANE

又∵∠FMA=∠ANF

∴∠ENF=∠FMC

MFCNEF中,

∴△MFC≌△NEFSAS),

FEFC,∠NFE=∠MCF

NFAB

∴∠NFD=∠ABD

∵∠ACB90°,∠BAC30°

∴∠ABC60°BMC是等边三角形,∠MCB60°

∴∠EFC=∠EFN+NFD+DFC=∠MCF+ABD+FBC+FCB=∠ABC+MCB60°+60°120°

3)如图3中,作EHABH

RtABC中,∵∠BAC30°BC3

AB2BC6

RtAED中,∠DAE30°AD2

DEAD1

RtDEH中,∵∠EDH60°DE1

EHEDsin60°

DHEDcos60°

RtEHG中,EG

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