Question

【题目】如图，CD＝4，∠C＝90°，点B在线段CD上，，沿AB所在的直线折叠△ACB得到△AC′B，若△DC′B是以BC'为腰的等腰三角形，则线段CB的长为_____．

Answer 1

【答案】2或

【解析】

分BC′＝BD，BC′＝C′D两种情形分别求解即可．

BC′＝BD时，由折叠可知BC′＝BC=BD=2；

BC′＝C′D时，作C′H⊥BD于H，CM⊥AB于M，取AB的中点N，连接CN，设BC＝3k，AC＝4k，AB＝5k．根据直角三角形ABC的面积和直角三角形斜边上的中线得CM＝k，CN＝k，根据勾股定理求出MN，再证明△CMN∽△C′HB，由相似三角形的对应边成比例求出k的值，即可得出结论.

解：当BC′＝BD时，BC＝BD＝2．

当BC′＝C′D时，作C′H⊥BD于H，CM⊥AB于M，取AB的中点N，连接CN．

设BC＝3k，AC＝4k，AB＝5k．则CM＝k，CN＝k，

∴MN＝ ＝k，

∵∠DBC′+∠CBC′＝180°，∠CAC′+∠CBC′＝180°，

∴∠C′BH＝∠CAC′，

∵NC＝NA＝BN，

∴∠NAC＝∠NCA，

∴∠CNM＝∠NAC+∠NCA＝2∠NAC＝∠CAC′，

∴∠C′BH＝∠CNM，

∵∠CMN＝∠BHC′＝90°，

∴△CMN∽△C′HB，

∴＝ ，

∴ ＝ ，

解得k＝ ，

∴BC＝，

综上所述，BC的长为2或．

故答案为：2或．