Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连结EB，交OD于点F．

（1）求证：OD⊥BE；

（2）若DE＝，AB＝10，求AE的长；

（3）若△CDE的面积是△OBF面积的，求的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）8；（3）

【解析】

（1）连接AD．根据直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的性质以及平行线的性质即可证明；

（2）设AE＝x．根据圆周角定理的推论和勾股定理进行求解；

（3）设S△CDE＝5k，S△OBF＝6k，求得S△CDE＝S△BDE＝5k，根据相似三角形的性质得到，求得S△ABE＝4S△OBF，于是得到S△CAB＝S△CDE+S△BDE+S△ABE＝34k，再由相似三角形的性质即可得到结论．

（1）连接AD，

∵AB是⊙O直径，

∴∠AEB＝∠ADB＝90°，

∵AB＝AC，

∴，

∴OD⊥BE；

（2）∵∠AEB＝90°，

∴∠BEC＝90°，

∵BD＝CD，

∴BC＝2DE＝，

∵四边形ABDE内接于⊙O，

∴∠BAC+∠BDE＝180°，

∵∠CDE+∠BDE＝180°，

∴∠CDE＝∠BAC，

∵∠C＝∠C，

∴△CDE∽△CAB，

∴，即，

∴CE＝2，

∴AE＝AC﹣CE＝AB﹣CE＝8；

（3）∵，

∴设S△CDE＝5k，S△OBF＝6k，

∵BD＝CD，

∴S△CDE＝S△BDE＝5k，

∵BD＝CD，AO＝BO，

∴OD∥AC，

∵△OBF∽△ABE，

∴，

∴S△ABE＝4S△OBF，

∴S△ABE＝4S△OBF＝24k，

∴S△CAB＝S△CDE+S△BDE+S△ABE＝34k，

∵△CDE∽△CAB，

∴，

∴，

∵BC＝2CD，

∴．