【题目】在平面直角坐标系xOy中,橫、纵坐标都是整数的点叫做整点.直线y=ax与抛物线y=ax2﹣2ax﹣1(a≠0)围成的封闭区域(不包含边界)为W.
(1)求抛物线顶点坐标(用含a的式子表示);
(2)当a=时,写出区域W内的所有整点坐标;
(3)若区域W内有3个整点,求a的取值范围.
【答案】(1)(1,﹣a﹣1);(2)(1,0)、(2,0)、(3,1)、(1,﹣1);(3)区域W内有3个整点,a的取值范围为:a=或﹣≤a<﹣1
【解析】
(1)将抛物线化成顶点式表达式即可求解;
(2)概略画出直线y=x和抛物线y=x2﹣x﹣1的图象,通过观察图象即可求解;
(3)分a>0、a<0两种情况,结合(2)的结论,逐次探究即可求解.
解:(1)y=ax2﹣2ax﹣1=a(x﹣1)2﹣a﹣1,
故顶点的坐标为:(1,﹣a﹣1);
(2)a=时,概略画出直线y=x和抛物线y=x2﹣x﹣1的图象如下:
从图中看,W区域整点为如图所示4个黑点的位置,
其坐标为:(1,0)、(2,0)、(3,1)、(1,﹣1);
(3)①当a>0时,
由(2)知,当a=时,区域W内的所有整点数有4个;
参考(2)可得:当a>时,区域W内的所有整点数多于3个;
当a时,区域W内的所有整点数有4个;
同理当a=时,区域W内的所有整点数有3个;
当0<a<时,区域W内的所有整点数多于3个;
②当a<0时,
当﹣1≤a<0时,区域W内的所有整点数为0个;
当a<﹣时,区域W内的所有整点数多于3个;
∴区域W内有3个整点时,a的取值范围为:﹣≤a<﹣1,
综上,区域W内有3个整点,a的取值范围为:a=或﹣≤a<﹣1.
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【题目】如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AC平分∠BAD,CE∥AD交AB于E.
(1)求证:四边形AECD是菱形;
(2)若点E是AB的中点,试判断△ABC的形状,并说明理由.
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【题目】如图,CD=4,∠C=90°,点B在线段CD上,,沿AB所在的直线折叠△ACB得到△AC′B,若△DC′B是以BC'为腰的等腰三角形,则线段CB的长为_____.
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【题目】定义:在平面直角坐标系中,对于任意两点, ,当点满足, 时,则称点为点,的“四合点”.例如:,当点满足,则点为点,的“四合点”.
若点,则点的“四合点” 的坐标为
如图,点,点是直线上一点,点为点的“四合点”,
①请求出关于的函数关系式;
②已知点,在直线上是否存在点,使得与相似,若存在,请求出此时点 的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于点C,抛物线的对称轴交轴于点D,已知点A的坐标为(-1,0),点C的坐标为(0,2).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,请直接写出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,BE⊥CD于点E,DF⊥BC于点F.
(1)求证:BF=DE;
(2)分别延长BE和AD,交于点G,若∠A=45°,求的值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的一边在x轴上,反比例函数的图象经过菱形对角线的交点,且与AB所在直线交于点D,已知,,则以下结论:①;②点D的纵坐标为;③.其中正确的个数有
A.0个B.1个C.2个D.3个
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,点D在AB边上,△CDE是等边三角形.
(1)如图1,当点E在AB边上时,CE与BE有何数量关系,请说明理由;
(2)如图2,当点E在△ABC内时,猜想CE与BE的数量关系,并加以证明;
(3)再另画一种情况,写出相应结论.(不用证明)
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