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【题目】在平面直角坐标系xOy中,橫、纵坐标都是整数的点叫做整点.直线yax与抛物线yax22ax1a≠0)围成的封闭区域(不包含边界)为W

1)求抛物线顶点坐标(用含a的式子表示);

2)当a时,写出区域W内的所有整点坐标;

3)若区域W内有3个整点,求a的取值范围.

【答案】1)(1,﹣a1);(2)(10)、(20)、(31)、(1,﹣1);(3)区域W内有3个整点,a的取值范围为:a或﹣a<﹣1

【解析】

1)将抛物线化成顶点式表达式即可求解;

2)概略画出直线yx和抛物线yx2x1的图象,通过观察图象即可求解;

3)分a0a0两种情况,结合(2)的结论,逐次探究即可求解.

解:(1yax22ax1ax12a1

故顶点的坐标为:(1,﹣a1);

2a时,概略画出直线yx和抛物线yx2x1的图象如下:

从图中看,W区域整点为如图所示4个黑点的位置,

其坐标为:(10)、(20)、(31)、(1,﹣1);

3a0时,

由(2)知,当a时,区域W内的所有整点数有4个;

参考(2)可得:当a时,区域W内的所有整点数多于3个;

a时,区域W内的所有整点数有4个;

同理当a时,区域W内的所有整点数有3个;

0a时,区域W内的所有整点数多于3个;

a0时,

当﹣1≤a0时,区域W内的所有整点数为0个;

a<﹣时,区域W内的所有整点数多于3个;

区域W内有3个整点时,a的取值范围为:﹣a<﹣1

综上,区域W内有3个整点,a的取值范围为:a或﹣a<﹣1

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