Question

【题目】等边的边长为3，在边上取点，使，连接，以为一边作等边，连接，则线段的长为__________．

Answer 1

【答案】2或

【解析】

分两种情况：①当C1在A1B的上方时，证明△A1BC≌△ABC1，则A1C=AC1=2；②当C1在A1B的下方时，作辅助线，构建全等三角形和直角三角形，同理得：△ABA1≌△CBC1，则C1C=A1A=1，∠C1CB=∠BAC=60°，得到30°的Rt△C1CD，根据性质求得CD=，C1D=，最后利用勾股定理可得结论.

分两种情况：

① 当C1在A1B的上方时，如图1，

∵AB=3，AA1=2，

∴A1C=3-1=2，

∵△ABC和△A1BC1是等边三角形，

∴AB=BC，A1B=BC1，∠ABC=∠A1BC1=60°，

∴∠A1BC=∠ABC1，

在△A1BC和△ABC1中，

∵BC=AB，∠A1BC=∠C1BA，A1B=C1B，

∴△A1BC≌△ABC1（SAS），

∴A1C=AC1=2；

② 当C1在A1B的下方时，如图2，连接C1C，过C1作C1D⊥AC于D，

同理得：△ABA1≌△CBC1，

∴C1C=A1A=1，∠C1CB=∠BAC=60°，

∵∠ACB=60°，

∴∠C1CD=60°，

Rt△C1CD中，∠CC1D=30°，

∴CD=C1C=，C1D=，

Rt△AC1D中，AD=3+=，

由勾股定理得：AC1=，

综上所述，则线段A1C的长为2或．

故答案为：2或．