Question

【题目】某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．

(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

(3)若在销售过程中每一件商品有a（a＞1）元的其他费用，商家发现当售价每件不低于57元时，每月的销售利润随x的增大而减小，请直接写出a的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)y=-10x2+110x+2100（0＜x≤15且x为整数）；(2)当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元；(3)1＜a≤3.

【解析】

（1）根据题意可知y与x的函数关系式．
（2）根据题意可知y=-10（x-5.5）2+2402.5，当x=5.5时y有最大值．

(3) y=（210-10x）（50+x-40-a）=-10x2+（110+10a）x+2100-210a

根据题意知-≤57-50，解得a≤3,又因为a＞1，所以可求出a的范围，1＜a≤3.

(1)由题意得：
y=（210-10x）（50+x-40）
=-10x2+110x+2100（0＜x≤15且x为整数）；
(2)由(1)中的y与x的解析式配方得：y=-10（x-5.5）2+2402.5，
∵a=-10＜0，
∴当x=5.5时，y有最大值2402.5，
∵0＜x≤15，且x为整数，
当x=5时，50+x=55，y=2400（元），
当x=6时，50+x=56，y=2400（元），
∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元；
(3) y=（210-10x）（50+x-40-a）=-10x2+（110+10a）x+2100-210a

根据题意知-≤57-50，解得a≤3,又因为a＞1，所以可求出a的范围，1＜a≤3.