Question

【题目】如图，在等腰中，，，是边上的中点，点、分别在、边上运动，且保持，连接、、．在此运动变化的过程中，下列结论：①是等腰直角三角形；②四边形不可能为正方形；③；④四边形的面积保持不变；⑤面积最大值为8，其中正确的结论是___________（填番号）．

Answer 1

【答案】①③④⑤

【解析】

连接CF，由SAS定理可得△CFE≌△ADF，从而可证∠DFE=90°可得DF=EF，可得①△DFE是等腰直角三角形正确；显而易见③正确，再由补割法可证④是正确的．判断②与⑤，当DF⊥BC时，DF最小，DF取最小值4，△CDE最大的面积等于四边形CDEF的面积减去△DEF的最小面积，此时四边形CDFE是正方形，由此可知⑤是正确的，②错误；故①③④⑤正确．

解：连接CF，

∵△ABC为等腰直角三角形，是边上的中点，

∴∠FCB=∠A=45°， CF=AF=FB，
∵AD=CE
∴△ADF≌△CEF

∴EF=DF ， ∠CFE=∠AFD

∵∠AFD+∠CFD=90°
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°
∴△EDF是等腰直角三角形，
所以①正确；
当D、E分别为AC、BC的中点时，DF∥BC，EF∥CD

∴四边形CDEF是平行四边形，

又∵DF=EF

∴四边形CDEF是正方形，
因此②错误；

在等腰中，

∴AC=BC
∵AD=CE， CD=AC-AD，EB=BC-CE，

∴CD=EB

③是正确的；
由△ADF≌△CEF可知S△ADF=S△CEF

S四边形CDFE=S△CDF+S△CEF= S△CDF+S△ADF

=S△ACF=S△ABC=××8×8=16

即四边形CDFE的面积保持不变．

由此④正确；
∵△DEF是等腰直角三角形，
当DE最小时，DF也最小，
即当DF⊥AC时,DE最小，
此时DF∥CB，DF=BC

当△CDE面积最大时，△DEF的面积最小，

此时，

S△CDE=S四边形CEFD-S△DEF
=16-DF·EF
=16-×4×4
=8，
所以⑤正确．

综上所述正确的有①③④⑤．
故答案为：①③④⑤