Question

【题目】在平行四边形ABCD中，在平行四边形内作以线段AD为边的等边△ADM，连结AM．

（1）如图1，若点M在对角线BD上，且∠ABC=105°，AB=，求AM的长；

（2）如图2，点E为CD边上一点，连接ME，点F是BM的中点，，若CE＋ME=DE．求证：BM⊥ME．

Answer 1

【答案】（1）2（2）见解析

【解析】

（1）过点A作AH⊥BD于H,根据∠ABC=105°和等边三角形、平行四边形的性质得到△ABH为等腰直角三角形，求出AH，再得到AD的长，即可求出AM的长；

（2）在ED上取点G，使得CG＝BM，连接EB，EG．证明△MEC≌△MGD（SAS），△EMG是等边三角形，再得到CF∥ME即可解决问题．

（1）过点A作AH⊥BD于H,

∵△ADM等边三角形，

∴∠ADM=60°，∠DAH=30°

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠CBD=∠ADM=60°

∵∠ABC=105°，

∴∠ABD=∠ABC -∠CBD=45°

∴△ABH为等腰直角三角形

在Rt△ABH中，AH2＋BH2＝AB2，即2AH2＝18，

∴AH=3，

在Rt△ADH中，∠DAH=30°，

∴AD＝2DH，DH2＋AH2＝AD2，即（）2＋32＝AD2，

∴AD＝2，

∴AM＝AD＝2；

（2）如图，在ED上取点G，使得DG＝CE，连接CM，MG．

∵F是BM的中点，CF⊥BM，

∴BC＝CM，

∴△BCM是等腰三角形，

∵CF⊥BM，

∴∠3＝∠4，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC＝AD，BC∥AD，

∵△ADM是等边三角形，

∴DM＝AD，∠ADM＝60，

∵BC＝CM，BC＝AD，

∴CM＝DM，

∴∠1＝∠2，

∵CE＝DG

∴△MEC≌△MGD（SAS），

∴EM＝MG，

∵CE＋ME=DE，CG=DE

故CE＋ME=CG= CE＋EG

∴ME= EG

∴EM＝MG= EG

∴△EMG是等边三角形

∴∠MEG＝60

∵BC∥AD，

∴∠BCD＋∠ADC＝180，即∠ADM＋∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180，

∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠ADM＝60，

∴∠2＋∠3＝60°，即∠FCG＝60，

∴∠MEG＝∠FCG＝60，

∴CF∥EM，

∵CF⊥BM

∴BM⊥ME．