Question

【题目】已知：AB是⊙0直径,C是⊙0外一点,连接BC交⊙0于点D，BD=CD,连接AD、AC.

(1)如图1,求证:∠BAD=∠CAD

(2)如图2,过点C作CF⊥AB于点F,交⊙0于点E,延长CF交⊙0于点G.过点作EH⊥AG于点H，交AB于点K,求证AK=2OF；

(3)如图3,在(2)的条件下,EH交AD于点L,若0K=1,AC=CG,求线段AL的长.

图1 图2 图3

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)见解析(3)

【解析】试题分析：（1）由直径所对的圆周角等于90°，得到∠ADB=90°，再证明△ABD≌△ACD即可得到结论；

（2）连接BE．由同弧所对的圆周角相等，得到∠GAB=∠BEG．再证△KFE≌△BFE，得到BF=KF=BK．由OF=OB-BF，AK=AB-BK，即可得到结论．

（3）连接CO并延长交AG于点M，连接BG．设∠GAB= ．先证CM垂直平分AG，得到AM=GM，∠AGC+∠GCM=90°．再证∠GAF=∠GCM = ．通过证明△AGB≌△CMG，得到BG=GM=AG．再证明∠BGC=∠MCG= ．设BF=KF=a， GF=2a，AF=4a．

由OK=1，得到OF=a+1，AK=2（a+1），AF= 3a+2，得到3a+2=4a，解出a的值，得到AF，AB，GF，FC的值．由tanα=tan∠HAK=， AK=6，可以求出 AH的长．再由 ，利用公式tan∠GAD=，得到∠GAD=45°，则AL=AH，即可得到结论．

试题解析：解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADC=90°．

∵BD=CD，∠BDA=∠CDA，AD=AD，∴△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD．

（2）连接BE．∵BG=BG ，∴∠GAB=∠BEG．

∵CF⊥AB，∴∠KFE=90°．

∵EH⊥AG，∴∠AHE=∠KFE=90°，∠AKH=∠EKF，∴∠HAK=∠KEF=∠BEF．

∵FE=FE，∠KFE=∠BFE=90°，∴△KFE≌△BFE，∴BF=KF=BK．

∵ OF=OB-BF，AK=AB-BK，∴AK=2OF．

（3）连接CO并延长交AG于点M，连接BG．设∠GAB= ．

∵AC=CG， ∴点C在AG的垂直平分线上．∵ OA=OG，∴点O在AG的垂直平分线上，

∴CM垂直平分AG，∴AM=GM，∠AGC+∠GCM=90°．

∵AF⊥CG，∴∠AGC +∠GAF =90°，∴∠GAF=∠GCM = ．

∵AB为⊙O的直径，∴∠AGB= 90°，∴∠AGB=∠CMG=90°．

∵AB=AC=CG ，∴△AGB≌△CMG，∴BG=GM=AG．

在Rt△AGB中， ．

∵∠AMC=∠AGB= 90°，∴BG∥CM， ∴∠BGC=∠MCG= ．

设BF=KF=a， ，∴GF=2a， ，AF=4a．

∵OK=1，∴OF=a+1，AK=2OF=2（a+1），∴AF=AK+KF=a+2（a+1）=3a+2，∴3a+2=4a，∴a=2， AK=6，∴AF=4a=8，AB=AC=CG=10，GF=2a=4，FC=CG-GF=6．

∵tanα=tan∠HAK=，设KH=m，则AH=2m，∴AK==6，解得：m=，∴AH=2m=．在Rt△BFC中， ．∵∠BAD+∠ABD=90°， ∠FBC+∠BCF=90°，∴∠BCF=∠BAD， ，∴tan∠GAD==，∴∠GAD=45°，∴HL=AH，AL=AH= ．